Basis des R^n besteht aus gemeinsamen Eigenvektoren von Matrizen A und B, so gilt AB=BA

Question

Aufgabe:

(a) Seien \(A, B \in M_n(\mathbb{R})\). Zeigen Sie: Gibt es eine Basis des \(\mathbb{R}^n\), die aus gemeinsamen Eigenvektoren von A und B besteht, so gilt AB=BA.

(b) Beweisen Sie: Alle mit einer gegebenen Matrix \(A \in M_n(\mathbb{R})\) vertauschbaren Matrizen \(B \in M_n(\mathbb{R})\) (d.h. AB=BA) bilden einen mindestens eindimensionalen Unterraum des Vektorraums \(M_n(\mathbb{R})\). Ist A diagonalisierbar, so hat dieser Unterraum mindestens Dimension n.

Problem/Ansatz:

(a) Da \(\mathbb{R}^n\) eine Basis, die aus gemeinsamen Eigenvektoren von A und B besteht, existiert, so ist AB diagonalisierbar.
\(=>AB=S^{-1}ASS^{-1}BS\) mit \(SS^{-1}=E_n\).
\(=>AB=S^{-1}ABS\)
Diagonalmatrizen sind kommutativ, also gilt AB=BA.
Reicht das schon als Beweis?

Für (b) habe ich keinen Ansatz, kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Hier eine mögliche Betrachtungsweise für a):

Sei \( V \) der \( n \)-dimensionale Vektorraum über \( ℝ \). Sei \( \left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\} \) eine Basis von \( V \) bestehend aus gemeinsamen Eigenvektoren von \( A \) und \( B \). Das bedeutet, dass für jeden Vektor \( v_{i} \) in dieser Basis gilt:
\( \begin{array}{l} A v_{i}=\lambda_{i} v_{i} \\ B v_{i}=\mu_{i} v_{i} \end{array} \)
wobei \( \lambda_{i} \) und \( \mu_{i} \) die Eigenwerte von \( A \) bzw. \( B \) sind.

Wir betrachten nun das Produkt \( A B v_{i} \) :
\( A B v_{i}=A\left(B v_{i}\right)=A\left(\mu_{i} v_{i}\right)=\mu_{i} A v_{i}=\mu_{i} \lambda_{i} v_{i} \)

Auf der anderen Seite betrachten wir auch \( B A v_{i} \) :
\( B A v_{i}=B\left(A v_{i}\right)=B\left(\lambda_{i} v_{i}\right)=\lambda_{i} B v_{i}=\lambda_{i} \mu_{i} v_{i} \)

Da \( v_{i} \) ein Eigenvektor sowohl von \( A \) als auch von \( B \) ist, müssen \( \lambda_{i} \mu_{i} \) und \( \mu_{i} \lambda_{i} \) dasselbe sein. Daher folgt:
\( A B v_{i}=B A v_{i} \)

Da dies für jeden Vektor in der Basis gilt und jeder Vektor in \( V \) als Linearkombination dieser Basisvektoren dargestellt werden kann, folgt daraus, dass \( A B=B A \).