Ist der Rang von M1 ∗ M2 voll oder nicht voll, wenn ...

Question

Seien M₁, M₂ ∈ M_n×n(K). Ist der Rang von M₁ ∗ M₂ voll oder nicht voll, wenn ...

(a) ... M₁ und M₂ beide nicht vollen Rang haben?
(b) ... von den beiden Matrizen M₁ und M₂ genau eine vollen Rang hat?
(c) ... M₁ und M₂ beide vollen Rang haben?

Answer 1

(a) \( \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix} \).

(b) \( \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix} \).

(c) Die Menge der quadratische Matrizen mit vollem Rang ist bezüglich der Matrixmultiplikation eine Gruppe.