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ich habe Probleme mit dieser Aufgabe:

Beweisen Sie die Konvergenz der Folge: cn=  \( \frac{(3n+4)^2}{3/4 n^2 - 2} \)      ,n∈N

mit Hilfe der Definition.


Bisher habe ich so gemacht:

Die Grenzwert ist 12. Also muss ich beweisen: fur jede ε>0 existiert ein n(ε) ∈N so dass gilt

| \( \frac{(3n+4)^2}{3/4 n^2 - 2} \) -12| < ε    fur jede n> n(ε) 

⇔  | \( \frac{24n +10}{3/4 n^2 - 2} \)| =  \( \frac{24n +10}{|3/4 n^2 - 2|} \) < ε

⇔  \( \frac{2(12n +5)}{|3/4 n^2 - 2|} \) = \( \frac{2(12n+5)}{3/4 n^2 - 2} \)  wenn n(ε) > \( \frac{2+\sqrt{6}}{3} \)

Abschätzung: \( \frac{12n +5}{3/8 n^2 - 1} \) <= \( \frac{12n +5n}{3/8 n- 1} \)  aber das ist wahr nur wenn n> 8/3

(Ist diese Abschätzung richtig?)

Also muss ich ein n> n(ε) finden so dass gilt:

\( \frac{12n +5n}{3/8 n- 1} \)  < ε

⇔  n > \( \frac{ε}{3/8 ε -17} \)

Ich setzte n(ε) = \( \frac{ε}{3/8 ε -17} \) . Also gilt jedenfalls :

fur jede ε>0 existiert ein n(ε) ∈N so dass gilt  | \( \frac{(3n+4)^2}{3/4 n^2 - 2} \) -12| < ε   fur jede n> n(ε)


Habe ich das richtig gemacht? Ich habe viele Zweifel über die Abschätzung und wie man sie machen soll.

Vielen Dank im Voraus.

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Was steht im Nenner?

\(\frac{3}{4}n²-2\)?

\(\frac{3}{4n²}-2\)?

\(\frac{3}{4n²-2}\)?

1 Antwort

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Beste Antwort

(Ist diese Abschätzung richtig?)

Richtig schon, aber führt nicht zum Ziel.

Du musst ja etwas bekommen, was jedenfalls als

"kleiner Epsilon" erkannt werden kann, also am besten

etwas, das für n gegen unendlich selbst gegen 0 geht.

Dein Ergebnis 17n / ( 3/8 n - 1 ) tut das nicht.

Das n^2 im Nenner muss jedenfalls erhalten bleiben;

denn das sorgt ja dafür, dass die Sache gegen 0 geht.

Also schätze zum Beispiel so ab

(12n+5) / ( 0,75n^2 - 2 )  Nenner verkleinern !

Für großes n ist jedenfalls 0,1n^2 <  0,75n^2-2

≤ (12n+5) / ( 0,1n^2  )   Zähler vergrößern

≤ (20n) / (0,1n^2  )   = 200/n

Also hast du :

Abschätzung: \( \frac{12n +5}{3/8 n^2 - 1} \) <= \( \frac{200}{n} \)

und damit kannst du leicht weiterrechnen.

Avatar von 287 k 🚀

Vielen Dank ! Das hat mir sehr geholfen

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