Beweisen mit Folgenkriterium, dass die Funktion f(x):= sin(1/x^2) ... nicht stetig ist?

Question

Die Aufgabe lautet:

Beweisen Sie mit Hilfe des Folgenkriteriums, dass die Funktion

nicht stetig ist.

Ich habe so gemacht:

Sei a_n = e^-n also lim a_n = 0. Dann gilt lim f(a_n)= lim sin (e²ⁿ)   fur n-> inf. Der Limes ist unbestimmt. Also ist die Funktion nicht stetig?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Hallo Diana,

deine Begründung ist richtig.

lim sin (e²ⁿ)  fur n-> inf. Der Limes ist unbestimmt. (besser: existiert nicht)

müsste man vielleicht noch begründen.

Bei der Folge a_n = √( 2/(π·n))   ( → 0 )    sieht man das direkt:

f(a_n) = sin(π/2 · n) nimmt offensichtlich jeweils unendlich oft die Werte 1 und -1 an und hat deshalb keinen Grenzwert.

Gruß Wolfgang