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Ich habe die Aufgaben und die Losung, aber habe keine Ahnung wie ich drauf komme....

Es seien Permutationen π, σ ∈ G9 gegeben durch π=

123456789
924685731


und σ=(1,3)(2,4)(7,9,8)


1. Berechnen Sie π5ο σ

Die Antwort ist (19)(789)=(7819)

2.Berechnen Sie sign(π ο σ ο π)

Die Antwort ist 1.

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1 Antwort

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Das σ=(1,3)(2,4)(7,9,8) ist die sogenannte

Zyklenschreibweise siehe auch

https://de.wikipedia.org/wiki/Permutation#Zyklenschreibweise

und das pi ist ja durch die Angabe des Bildes zu jedem x ∈ { 1,...,9}

definiert.

Für π5ο σ2 musst du also überlegen auf welches Element jedes

x ∈ { 1,...,9} abgebildet wird, wenn man zuerst 2x das  σ und

dann 5x das π auf das Element anwendet. Also z.B. die 1:

mit   σ  kommt die 1 auf  3 und wenn man das nochmal macht

die 3 wieder auf die 1.

Darauf jetzt 5x das π anwenden:

beim ersten Mal wird die 1  zu 9 dann

beim 2. Mal die 9 auf die 1

beim 3. Mal die 1 auf die 9

beim 4. Mal die 9 auf die 1

beim 5. Mal die 1 auf die 9  .

Deshalb steht in der Lösung der Zyklus (1,9), also in

der Ergebnispermutation wird die 1 auf die 9 und die 9 auf die

1 abgebildet.

Vielleicht noch die 2:

Bei  σ kommt die 2 auf die 4 und bei der

2. Anwendung die 4 auf die 2. Also bleibt bei σ2 die

2 fest. Und bei π gilt ja  π (2) = 2 .

Also bleibt insgesamt bei  π5ο σ2 die

2 fest:; deshalb kommt sie in der Zyklenschreibweise

des Ergebnisses nicht vor.

Avatar von 287 k 🚀

Danke, ist schon klarer geworden.

Aber hab nicht verstanden, wie funktioniert es mit der (7 9 8).

7 auf die 9 und 9 auf die 8

dann noch mal das ganze ergibt 8 auf die 7 und 7 auf die 9... dann die 9 in π einsetzen...

Das passt jetzt nicht zum Ergebnis

Wie rechnet man das richtig?

wie funktioniert es mit der (7 9 8).

7 auf die 9 und beim 2. Mal σ  anwenden

geht die 9 auf die 8

dann noch mal das
ganze Nein, das war schon 2x.

Also geht durch  σ ^2 insgesamt die 7 auf die 8.

Und auf die 8 jetzt 5 mal das pi anwenden gibt

8 --- 3 --- 4 ---- 6 ----- 5 ----- 8

Also letztendlich wird bei π^5 ο σ^2  aus der 7

eine 8. Das passt auch zur Lösung.

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