Verbands-Homomorphismus h(n) = {m Element N | m|n} zeigen

Question

!

Folgende Aufgabe:

Gegeben ist eine Abbildung h: V1 -> V2

h(n) = {m Element N | m|n}

V1 ist der Verband der natürlichen Zahlen mit Teilbarkeitsbeziehung.

V2 ist der Potenzmengenverband natürlicher Zahlen.

Im Endeffekt wird eine Zahl also auf die Menge ihrer Teiler abgebildet.

Gezeigt/Widerlegt werden soll nun: Infimums-, bzw. Supremums-Homomorphismus.

Grundsätzlich ist mir klar, was zu tun ist. Mein Problem ist nun: Wie gehe ich ran? Bei einem konkret gegebenen Verband kann ich die jeweilige Eigenschaft zeigen, aber hier geht's ja allgemein um die oben genannten Mengen.

Zu zeigen ist (für's Infimum):

h(a inf b) = h(a) inf h(b)

Answer 1

Bezüglich deiner Ordungsrelationen gilt doch:

Sind a,b natürliche Zahlen, dann ist a inf {a,b} = ggT(a,b) und sup {a,b} = kgV(a,b}

Sind A,B Mengen dann ist, inf {A,B} = A∩B und sup {A,B} = A∪B

du musst also zeigen h(ggT(a,b)) = h(A)∩h(B). Zu zeigen sind zwei Inklusionen

für x in h(ggT(a,b)) gilt ja x teilt ggT(a,b). Da aber ggT(a,b) ein Teiler von a und b ist, ist x Teiler von a und b und somit liegt x in h(A) und h(B) also auch in h(A)∩h(B).

für x in h(A)∩h(B) ist x Teiler von a und Teiler von b also ein gemeinsamer Teiler und somit auch Teiler von ggT(a,b) nach Definition des größten gemeinsamen Teilers.

Ganz analog h(kgV(a,b)) = h(sup {a,b}) = sup {h(a),h(b)} = h(a) ∪ h(b)

Comments

Entschuldige meine späte Antwort!

Habe deine Idee glaube ich verstanden.

Dazu fand ich kürzlich noch eine andere Aufgabe:

"Ist die identische Abbildung (V,|) -> (V, <=) ein Inf/Sup/Ordnungs-Homo.?"

Ein Ordnungshomo. dürfte es sein, denn: 5 | 10 -> 5<= 10, wie beweise ich dies aber für den allgemeinen Fall?

---

Wenn \( m | n\) dann existiert eine natürliche Zahl \( k \) mit \( m\cdot k = n\)

\( \implies m = m \cdot 1 \le m\cdot k = n \)

Das ist einfach eine Verträglichkeit zwischen Multiplikation und Ordnungsrelation.

---

Habe deine Antwort gerade nocheinmal "durchgerechnet".

Was ich noch nicht verstehe:

Warum entspricht das Infimum der Schnittmenge?

---

Das Infimum von {A,B} ist doch die größte untere Schranke. Also suchen wir eine Menge C die kleiner als die beiden Mengen A und B ist, das heißt C soll Teilmenge von A und B sein. Außerdem soll C die größte Menge mit dieser Eigenschaft sein. Ist D Teilmenge von A und B soll D kleiner als C, also D Teilmenge von C sein. Jetzt kann man sich leicht überlegen warum der Schnitt von A und B die Eigenschaften von C erfüllt.

---

Frage geht hier "weiter" https://www.mathelounge.de/618717/verbandshomomorphismus-nachfrage#c618721

D.h. Antwort von hier könnte dort allenfalls wiederverwendet werden.

---

Danke an EmNero!

Ist verstanden :)