Äquivalenzrelationen überprüfen für (a-b)^2 = 1

Question

Hi,

 

es geht um die Aufgabe:

Entscheiden Sie, welche der folgenden Relationen ~ auf der Menge M Äquivalenzrelationen sind:

 

(a) M = ℝ und a ~ b <=> (a-b)² = 1

(b) M = ℚ und a ~ b <=> a² - b² ∈ ℤ

(c) M = {n ∈ ℕ | n < 1} und a ~ b <=> es gibt eine Primzahl p mit p²|ab 

(d) M = ℤ und a ~ b <=> a-b = max{1,b} - min{a,b}

 

Nun, damit es eine Äquivalenzrelation ist, müssen die 3 Kriterien erfüllt sein, dass die Relation

1. Reflexiv

2. Symmetrisch

3. Transitiv ist

 

leider bin ich mir schon bei (a) nicht sicher ob ich hier richtig vorgehe:

Reflexivität prüfen: a~a soll erfüllt sein, also (a-a)² = 1 was aber zu 0^2 = 1 führt, was offensichtlich falsch ist. Heißt das nun die Relation ist nicht reflexiv?

Bei (b) ist mein Problem, dass ich mit der Symmetrie nicht sicher bin. Für die Reflexivität gilt ja zunächst a^2 - a^2 = 0 und 0 ∈ ℤ also ist (b) reflexiv.

Aber jetzt mein Problem mit der Symmetrie: a~b = b~a soll gelten. Wenn ich jedoch zb. für a = 1/2 und b=2/2 wähle ist doch:

(1/2)^2 - (2/2)^2 = 1/4 - 1 = -3/4 und -3/4 ist nicht ∈ ℤ, ganz abgesehen davon, dass (2/2)^2 - (1/2)^2 nicht -3/4 ergibt.

Wie gehe ich damit um, dass a^2-b^2 ∈ ℤ gar nicht zutrifft?

Answer 1

Ganz langsam!

Beachte bitte diese Bedingung! (b) M = ℚ und a ~ b <=> a2 - b2 ∈ ℤ

Ich versuche es dir jetzt langsamm und deutlich zu erklären was dies bedeutet:

Eine Menge M (ist gleich) der Menge Q und

es besteht eine Relation von a zu b  genau dann wenn a^2 - b^2 ∈ ℤ ist...

Also was kannst du daraus lesen?

Das für deine Zahlen die du für a und b eingesetzt hast, gar keine Relation besteht....

Ich hoffe dass ich selber nicht falsch liege... Aber genau das Übungsblatt muss ich auch bis Freitag abgeben =)

Answer 2

Bzw. das könnte dir immer wieder nützlich werden. Speichere es am besten unter Favouriten ab ;)

http://www.mathe-online.at/symbole.html