Mantelfläche Rotationskörper

Question 1

Hi, ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Es soll die Mantelfläche eines Drehellipsoid berechnet werden, welches durch folgende Gleichung definiert ist: x^2/25 + y^2/9 = 1.

Ich verwende die Formel M= 2*pi* ∫√(1+(y')^2) *y dx

Ich habe mir (y')^2 berechnet und wollte es in die Formel einsetzen, allerdings funktioniert das nicht mit einem Integralrechner.

Wo kann hier das Problem sein?

Question 2

Im welche Achse rotiert die Mantellinie?

Question 3

Ist ja wohl Rot. um die x-Achse:

Betrachte die Funktion zur oberen Randlinie, das ist

y = (1/5)*√(25-x^2) das gibt

Fehler ( s. Kommentare)

(y')^2 = -x^2 / ( 25 * (x^2 - 25) )

also √ (1 + (y')^2 )

= (1/5) * √ (625-24x^2 ) / √ 25-x^2 )

also kürzt sich bei y * √ (1 + (y')^2 ) das y raus

und du hast y * √ (1 + (y')^2 ) = (1/25) * √ (625-24x^2 )

und das integriert von -5 bis 5 gibt ca. 199,71.

Question 4

Danke für deine Antwort.

Wie kommst du auf y=(1/5) * √(25-x^2), bzw. was meinst du mit oberer Randlinie?

Ich hätte für y=√(9-9x^2/25)

Question 5

x^2/25 + y^2/9 = 1 nach y auflösen

9x^2 / 25 + y^2 = 9

y^2 = 9 - 9x^2 / 25 = 9/25* ( 25 - x^2 )

y = 3/5* √ ( 25 - x^2 )

Oha, da hatte ich nicht recht aufgepasst.

Da musst du überall noch den Faktor 3 ergänzen.

Habe außerdem am Schluss das mit den 2pi vergessen.

Question 6

Ah ok.

Also ich bekomme dann auf (3/25) * √(625-34x^2) und das von -5 bis 5 integriert gibt 20.20. Dann 2pi und ich habe 126.92.

Ich hätte es auch bei einem Rechner für Drehellpsoide berechnen lassen und da kommt ca 165 raus.

wie kommt es zu diesem Unterschied? Oder habe ich noch einen Fehler in der Berechnung?

Question 7

Das sind die Folgen der oben beschriebenen

Fehler:

Ich hatte das mal 2pi und oben den Faktor 3 vergessen.

So gibt das das Integral

2pi* (3/25) * ∫ √ ( 625 - 16x^2 ) dx

und das ist ungefähr 165,7.

Question 8

Ja stimmt, ich hatte einen Fehler drin.

Vielen Dank für deine Hilfe. :D

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