Wahrscheinlichkeitsrechnung Würfel

Question

die Aufgabe ist :

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein idealer Würfel bei  900 Würfen mindestens 12ß mal und höchstens 180 mal eine Sechs zeigt .

Comments

* 120 mal nicht 12ß

Answer 1

hallo

die gesuchte wahrscheinlichkeit ist

P(12 ≤ X ≤ 180) = P(X ≤ 180) -P(X ≤ 11)

entweder, dein rechner kann binomialverteilungen, dann gibst du ein

P = B(900; 1/6; 180) - B(900; 1/6; 11) ≈ 0,9962

oder du prüfst, ob du  näherungsweise mit der normalverteilung rechnen kannst.

das ist der fall, wenn σ > 3 ist.

μ = n*p = 900*1/6 = 150

σ = √(n*p*(1-p)) = √(900*1/6*5/6) = √125  ≈ 11,1803

σ ≈ 11,1803 > 3

es ist σ > 3 es kann näherungsweise mit der normalverteilung gerechnet werden.

z₁ = (X -μ + 0,5)/σ

z₁ = (180-150+0,5)/11,1803

z₁ ≈ 2,73

z₂ = (11-150+0,5)/11,1803

z₂ ≈ -12,39

P(12 ≤ X ≤ 180) = Φ(z₁) + Φ(z₂) = Φ(2,73) + Φ(-12,39) = Φ(2,73) + 1 - Φ(12,39)

die meisten tabelle hören irgendwo bei z = 4 auf, wir haben den wert z = 12,39

also wird Φ(12,39) sehr nahe bei 1 sein und daher wird 1 - Φ(12,39) sehr nahe bei 0 sein,

also können wir 1 - Φ(12,39) vernachlässigen und erhalten als ergebnis

P(12 ≤ X ≤ 180) ≈ Φ(z₁) = Φ(2,73) = 0,9968

was eine gute sehr näherung  ist.

lg

edit: ich sehe gerade, du hast die aufgabe geändert! :D

dann gilt: P(120 ≤ X ≤ 180) = P(X ≤ 180) -P(X ≤ 119)

damit wird z₂ = (119-150+0,5)/11,1803  ≈ -2,73

und Φ(z₂) = Φ(-2,73) = 1 - Φ(2,73) ≈ 1 - 0,9968 ≈ 0,0032

P(12 ≤ X ≤ 180) = Φ(z₁) + Φ(z₂) = 0,9968 + 0,0032 ≈ 1

da dies nur ein näherungswert ist, liegt die wahrscheinlichkeit also relativ nah bei 1.

 

btw ist das genaue ergebnis per taschenrechner: P = B(900; 1/6; 180) - B(900; 1/6; 119) ≈ 0,9936

Comments

wie tippe ich es im taschenrechner ein ? also ich meine rechnung ?

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du musst das hier B(900; 1/6; 180) - B(900; 1/6; 119) eintippen.

wie du das machst kann ich dir nicht sagen, weil ich deinen taschenrechner nicht kenne.

er muss kumulierte wahrscheinlichkeiten der binomialverteilung rechnen können.

bei meinem "taschenrechner" (ich benutze gerade ein android smartphone) habe ich mir ein kostenloses programm namens mathsapp installiert. das kann u.a. auch kumulierte wahrscheinlichkeiten der binomialverteilung rechnen. dort heißt die funktion binom-cdf und ich gebe einfach nur die obingen zahlen ein.

Answer 2

Hallo icecream, 

 

man arbeitet hier mit der summierten Binomialverteilung mit n = 900 (Anzahl der Würfe), p = 1/6 (Einzelwahrscheinlichkeit einer Sechs) und X = Anzahl der "Treffer" (Sechs gewürfelt) als Zufallsvariable. 

P(120 ≤ X ≤ 180) =

P(X ≤ 180) - P (X ≤ 119) | Die 120 gehört ja noch dazu

≈ 0,99620 - 0,00256 = 0,99364 = 99,364%

 

Besten Gruß