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Aufgabe:

Dir. Ibtegral.png



Problem:

Ich verstehe, dass er tanx zu sin(x)/cos(x) umschreibt. 

Aber drei Fragen:  


(1) Wieso darf das ganze mit einem (-1) multipliziert werden? 
Ich sehe ein, dass cos(x) abgeleitet -sin(x) ergibt und 1/x f(x) ergibt. 
Verändert das das Integral nicht ? Kann man das zeigen ? 



(2) Streng genommen, ausser ich übersehe etwas, müsste dann das Integral 

\( \int\limits_{}^{} \) 1/cos(x) * -sin(x) dx = F(g(x)) ergeben, also log(cos(x))+c. 

Weil  f(x) = 1/x ⇒ F(x) = log(x), g(x) = cos(x),  g'(x)= -sin(x).

Im Buch steht aber -log(cos(x) + c.
(minus als Vorzeichen aus -sin(x), Linearität des Integrals. Aber -sin(x) nimmt an der Bildung des Integrals ja gar nicht teil....) 

(3)
Generell bei der Bildung von der Stammfunktion von f, also bei der Bildung von F eines Direkten Integrals
habe ich gemerkt, dass man eine Stammfunktion bildet ohne dass man mit dem Kehrwert Ableitung der  "inneren Funktion" multipliziert, wie es mit der Kettenregel üblich ist, sindern beim Direkten integral bildet man einfach aus f(g(x))*g(x) streng F(x) und setzt dann für das x einfach g(x) ein. 
Habe ich das richtig verstanden ? 

Korrektur:
Im Bild fehlt in der ersten Zeile unter dem Titel ein dx

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1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo Limonade, 

vor dem 3. Integral nach Bsp.  fehlt ein Minuszeichen, welches das eingeführte Minuszeichen in diesem Integral neutralisiert.

Damit lösen sich dann auch deine "Folgeprobleme".

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

Achsoooo, ja stimmt ! Danke ! 

Super Antwort. ! 

Ich habe doch noch eine Frage, wozu ist das Direkte Integral zu brauchen. 

Ich habe das das erste mal hier brauchen müssen. 

Ich denke einfach dass es ein Weg ist, Integrale (schnell) zu lösen die eben die Form haben f(g(x) * g'(x) weil man dann schnell sagen kann, ok, das Integral davon ist F(g(x)) + C

Oder steckt da mehr drin ?

Das "direkte Integral" ∫ f(x) dx heißt eigentlich "unbestimmtes Integral". Es gibt die Menge der Stammfunktionen  F(x) + c  mit  c ∈ ℝ an.

Wenn das Integral Grenzen hat, hebt sich c beim Ausrechnen weg.

Super, danke !

Aber das klappt eigentlich nur wenn es verkettet ist, oder  ?

Das geht auch in einfachen Fällen:

∫ u'(x) / u(x)  dx  = ln|u| + c  

ja stimmt, genau  ! :)

Super dann mache ich weiter, 
Danke für die super Erklärungen !

immer noch immer wieder gern :-)

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