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Folgende Aufgabe:

etro_MatheII-Aufgb1.PNG


Wir haben grad mit Mathe II angefangen und ich bin noch bisschen lost... Um welches Themengebiet handelt es sich in der Aufgabe und wie lös ich das?

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Zum Thema: Vielleicht geht es in diese Richtung: https://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe ?

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Thema:  Vektorräume mit einem inneren Produkt

Da du ja nicht zeigen musst, dass so ein inneres Produkt definiert werden

kann, sondern nur dass M ein Orthogonalsystem ist, musst du das

einfach nachrechnen, dass für alle f,g aus M gilt

f≠g ==>   (f,g)=0

Dazu rechnest du das Integral aus. Eine Stammfunktion von

sin(ax)*sin(bx) ist sin(x*(a-b)) / (2(a-b)  -  sin(x*(a+b)) / (2(a+b) #

( jedenfalls für a≠b).

Sind also  f,g aus M mit  f≠g , existieren n und m aus ℕ mit

n≠m und f=sin(n*pi*x/2) und g=sin(m*i*x/2) also musst du in #

a=n*pi/2 und b=m*pi/2 einsetzen und bekommst dann für

(a-b) = (n-m)*pi/2   und für  (a+b) = (n+m)*pi/2

Dann ist das Integral von -2 bis 2 über  f(x)*g(x) dx

=   sin(x* (n-m)*pi/2 )   /  (n-m)*pi   -   sin(x* (n+m)*pi/2 )   /  (n+m)*pi

       in den Grenzen von -2 bis 2 also =

  sin(2* (n-m)*pi/2 )   /  (n-m)*pi   -   sin(-2* (n+m)*pi/2 )   /  (n+m)*pi

-  ( sin(2* (n-m)*pi/2 )   /  (n-m)*pi   -   sin(-2* (n+m)*pi/2 )   /  (n+m)*pi  )

Die 2-en kürzen sich und bei den ganzzahligen Vielfachen von pi ist der

sin immer 0, also ist das Integral immer gleich 0.   q.e.d.

Wenn a und b gleich sind, ist die Formel # nat. nicht richtig, da ist eine

Stammfunktion   für sin(ax)*sin(ax)  dann

x/2 - sin(ax)*cos(ax)/(2a) also ist etwa für f(x) =  f=sin(n*pi*x/2)

das Integral  von -2 bis 2 über  f(x)*f(x) dx

= x/2 - sin(x*n*pi/2)*cos(x*n*pi/2)/(2*n*pi/2)

in den Grenzen von -2 bis 2

= 2/2 - sin(2*n*pi/2)*cos(2*n*pi/2)/(n*pi)

    -  (  -2/2 - sin(-2*n*pi/2)*cos(-2*n*pi/2)/(n*pi) )

= 1 - sin(n*pi)*cos(n*pi)/(n*pi)    -  (  -1 - sin(-n*pi)*cos(-n*pi)/(n*pi) )

= 1 - sin(n*pi)*cos(n*pi)/(n*pi)    + 1   + sin(-n*pi)*cos(-n*pi)/(n*pi) )

= 2 - sin(n*pi)*cos(n*pi)/(n*pi)       + sin(-n*pi)*cos(-n*pi)/(n*pi) )

und sin(n*pi) und sin(-n*pi) sind wieder 0, also ist das Ergebnis

dann   2.

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