0 Daumen
69 Aufrufe

Hallo!

Folgende Aufgabe:

etro_MatheII-Aufgb1.PNG


Wir haben grad mit Mathe II angefangen und ich bin noch bisschen lost... Um welches Themengebiet handelt es sich in der Aufgabe und wie lös ich das?

von

Zum Thema: Vielleicht geht es in diese Richtung: https://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe ?

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Thema:  Vektorräume mit einem inneren Produkt

Da du ja nicht zeigen musst, dass so ein inneres Produkt definiert werden

kann, sondern nur dass M ein Orthogonalsystem ist, musst du das

einfach nachrechnen, dass für alle f,g aus M gilt

f≠g ==>   (f,g)=0

Dazu rechnest du das Integral aus. Eine Stammfunktion von

sin(ax)*sin(bx) ist sin(x*(a-b)) / (2(a-b)  -  sin(x*(a+b)) / (2(a+b) #

( jedenfalls für a≠b).

Sind also  f,g aus M mit  f≠g , existieren n und m aus ℕ mit

n≠m und f=sin(n*pi*x/2) und g=sin(m*i*x/2) also musst du in #

a=n*pi/2 und b=m*pi/2 einsetzen und bekommst dann für

(a-b) = (n-m)*pi/2   und für  (a+b) = (n+m)*pi/2

Dann ist das Integral von -2 bis 2 über  f(x)*g(x) dx

=   sin(x* (n-m)*pi/2 )   /  (n-m)*pi   -   sin(x* (n+m)*pi/2 )   /  (n+m)*pi

       in den Grenzen von -2 bis 2 also =

  sin(2* (n-m)*pi/2 )   /  (n-m)*pi   -   sin(-2* (n+m)*pi/2 )   /  (n+m)*pi

-  ( sin(2* (n-m)*pi/2 )   /  (n-m)*pi   -   sin(-2* (n+m)*pi/2 )   /  (n+m)*pi  )

Die 2-en kürzen sich und bei den ganzzahligen Vielfachen von pi ist der

sin immer 0, also ist das Integral immer gleich 0.   q.e.d.

Wenn a und b gleich sind, ist die Formel # nat. nicht richtig, da ist eine

Stammfunktion   für sin(ax)*sin(ax)  dann

x/2 - sin(ax)*cos(ax)/(2a) also ist etwa für f(x) =  f=sin(n*pi*x/2)

das Integral  von -2 bis 2 über  f(x)*f(x) dx

= x/2 - sin(x*n*pi/2)*cos(x*n*pi/2)/(2*n*pi/2)

in den Grenzen von -2 bis 2

= 2/2 - sin(2*n*pi/2)*cos(2*n*pi/2)/(n*pi)

    -  (  -2/2 - sin(-2*n*pi/2)*cos(-2*n*pi/2)/(n*pi) )

= 1 - sin(n*pi)*cos(n*pi)/(n*pi)    -  (  -1 - sin(-n*pi)*cos(-n*pi)/(n*pi) )

= 1 - sin(n*pi)*cos(n*pi)/(n*pi)    + 1   + sin(-n*pi)*cos(-n*pi)/(n*pi) )

= 2 - sin(n*pi)*cos(n*pi)/(n*pi)       + sin(-n*pi)*cos(-n*pi)/(n*pi) )

und sin(n*pi) und sin(-n*pi) sind wieder 0, also ist das Ergebnis

dann   2.

von 166 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...