Beschränktheit, Monotonie, Wohldefiniertheit einer rekursiven Folge

Question

Halli ich kämpfe nun schon länger mit einer Aufgabe, die da folgendermaßen lautet:

Untersuche die Folge an (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie
und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert \( \lim\limits_{n\to\infty} \) an. Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle n≥0

\( a_{n+1}=\sqrt[3]{2a_n-1} , a_0=\frac{1}{2} \)

Problem/Ansatz:

Zu allererst stellt sich natürlich die Frage, ob ich davon ausgehen darf, dass die Folge wohldefiniert ist. Immerhin gibt es keine einheitliche Konvention zum Ziehen von Wurzeln ungeraden Grades aus negativen Zahlen. Aber nachdem die Angabe bereits suggeriert, dass die Folge wohldefiniert ist für alle n∈N, sagen wir mal ich kann die Wurzel ziehen. 
Berechnen der ersten paar Folgeglieder \((0.5,0,-1, \sqrt[3]{-3} )\) lässt mich vermuten, dass die Folge monoton fallend ist. Beweis über vollständige Induktion bestätigt das auch. Bei der Beschränktheit steh ich jetzt aber am Schlauch. Was wäre ein Ansatz um diese zu zeigen bzw. zu widerlegen? Nach oben ist die Folge, wenn sie monoton fallend ist durch \(\frac{1}{2}\)beschränkt, klar. Aber nach unten? Ich muss irgendeine Ungleichung der Form \(u<a_n\) (u steht da jetzt für die untere Schranke) auf eine Ungleichung für \(a_{n+1}\) bringen, aber das gelingt mir leider nicht.

(Den Grenzwert würde ich (so es einen gibt) mit der Annahme lim a_n+1=lim a_n berechnen und da würde man dann ja auf die Gleichung \(a^3=2a-1\) kommen, da kommt als infrage kommende Lösung \( a=- \frac{1}{2} -\frac{\sqrt{5}}{2} \) raus, was angesichts der berechneten Folgeglieder auch sinnvoll erscheint. )

Bin für jeden Tipp dankbar!

Answer 1

Zu allererst stellt sich natürlich die Frage, ob ich davon ausgehen darf, dass die Folge wohldefiniert ist. Immerhin gibt es keine einheitliche Konvention zum Ziehen von Wurzeln ungeraden Grades aus negativen Zahlen.

Die einzig sinnvolle Regel ist vermutlich \( \sqrt[2k+1]{-z} = - \sqrt[2k+1]{z} \) für \( z > 0 \). Warum sollte man das Radizieren von negativen Zahlen bei ungeradem Wurzelexponenten verbieten? Die Gleichung \( x^{2k+1} = -z\) hat genau eine reelle Lösung. Selbst die Definition der Quadratwurzel ist da tückischer.

lässt mich vermuten, dass die Folge monoton fallend ist. Beweis über vollständige Induktion bestätigt das auch.

da kommt als infrage kommende Lösung a=−1/2−√5/2 raus

Deine Folge ist monoton fallend und konvergiert (vermutlich) gegen diesen Wert. Dann könnte das ja ein geeigneter Kandidat für eine untere Schranke sein. Würde die Folge nämlich diesen Wert unterschreiten, könnte das niemals der Grenzwert dieser Folge sein. Falls du dir bei einer Rechnung unsicher bist, aber den Grenzwert zumindest in einer bestimmten Region vermutest, nimm doch einfach irgendeine zufällige kleinere Zahl: -10 oder so

IA offensichtlich \( a_0 \ge -10 \)

IS Nach IV gilt \( a_n \ge -10 \implies 2a_n - 1  \ge -21 \implies a_{n+1} = \sqrt[3]{2a_n - 1} \ge \sqrt[3]{-21} \ge -10 \)

Comments

In diesem Fall ist das zwar Wurscht, aber einige wurzelrecheneregeln gelten halt nicht, wenn man die dritte (oder 2n+1-te)  Wurzel aus negativen Zahlen ziehen möchte. Z.b. \(-3= \sqrt[3]{-27}≠\sqrt[6]{(-27)^2}=3 \)

Aber das ist hier echt egal, das stimmt. Danke für die Hilfe, bin grad draufgekommen dass ich da eh schonmal nen richtigen Ansatz hatte, mich aber verrechnet hab.