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Ein Ton in der Musik kann im einfachsten Fall durch eine Sinusfunktion s mit s(t) = a ∙ sin(b ∙ t) für a, b ∈ ℝ+ beschrieben werden. Bei einer derartigen Sinusschwingung wird der maximale Funktionswert als Amplitude bezeichnet. Die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde wird als Frequenz f bezeichnet und in Hertz (Hz) angegeben.

Für die Frequenz f gilt: f = 1/T (mit T in Sekunden), wobei T die (kleinste) Periodenlänge der jeweiligen Sinusschwingung ist (T ∈ ℝ+).

Drei bestimmte Töne werden mithilfe der nachstehenden Funktionen h1, h2 und h3 beschrieben.
Die Zeit t (t ≥ 0) wird dabei in Millisekunden (ms) gemessen.
h1(t) = sin(2 ∙ π ∙ t)
h2(t) = sin(2,5 ∙ π ∙ t)
h3(t) = sin(3 ∙ π ∙ t)
Die Überlagerung mehrerer Töne bezeichnet man als Klang.


Die Funktion h mit h(t) = h1(t) + h2(t) + h3(t) beschreibt einen Klang.
Der Schalldruck eines Tons ist zeitabhängig und kann durch die Funktion p mit p(t) = p ∙ sin(ω ∙ t) beschrieben werden. Dabei sind p und ω Konstanten.
Der Schalldruck wird in der Einheit Pascal (Pa) angegeben.


Aufgabenstellung:
a) Geben Sie für einen Ton, der mithilfe der Funktion g mit g(t) = sin(c ∙ π · t) mit c ∈ ℝ+ und t in ms beschrieben wird, eine Formel für die Periodenlänge T (in ms) in Abhängigkeit von c an!
Der Effektivwert peff des Schalldrucks einer Sinusschwingung mit der Periodenlänge T (in ms)
kann mit der Formel peff = \( \sqrt{\frac{1}{T}*\int\limits_{0}^{T}p²(t)dt} \)

Berechnen Sie den Effektivwert des Schalldrucks eines Tons, wenn p = 1 und ω = 2 ∙ π gilt!

Meine Überlegungen:

Einsetzen:

\( \sqrt{\frac{1}{1}*\int\limits_{0}^{1}1*sin(2*π*t)²dt} \)

= \( \sqrt{1*sin(2*π*1)^2} \)

=\( \sqrt{sin(6.2839)²} \)

=\( \sqrt{sin(39.4784..} \)

=0.797

Hier soll jetzt 0.71 pa rauskommen, aber die bekomme ich nicht raus.. Habe ich einen Fehler gemacht?

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Hallo

1. du musst aus sin(c*π*t) als erstes T in Abhängigkeit von c bestimmen, du hast einfach T=1 gesetzt was nur für c=2 richtig wäre.

2. du hast nicht sin^2(2π*t) integriert, sondern ein fach statt des Integrals sin((2π)^2) hingeschrieben, was sehr sinnlos ist. also berechne wirklich ∫sin^2(2π*t) dt von 0 bis T(c)

da T von c abhängt  seh ich nicht wie eine Zahl rauskommen soll.

(allerdings seh ich auch nicht, wie man ω=1 schreiben kann eigentlich muss man ω=1*1/ms oder ω=1*1/s schreiben, ebenso wie c keine reelle Zahl sein kann sondern die Einheit 1/ms haben muss )

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

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