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Hallo ! 

Situation:

Eine Ebene \(E\)  geschnitten mit einer Ebene \(F\) ist eine Gerade \(g\). 

Gilt hier, dass die Ebene E aus \( \mathbb{R}^2 \) geschnitten mit der Ebene E aus \( \mathbb{R}^2 \) dann immer eine Dimension kleiner ist ?

Frage

Also kann man generell sagen, dass 
Wenn zwei Unterräume zu Beispiel geschnitten werden sich ihr Durchschnitt immer um eine Dimension verringert ?

Das Problem: 
Was passiert wenn sich zwei Unterräume U1, U2 schneiden und beide Unterräume 3 Dimensoinal ( \( \mathbb{R}^3 \) ) sind ?
Anschaulich stelle ich mir zwei Würfel vor, die in sich hinüber oder hineingehen.... Dann ist aber auch ihr Schnitt \( \mathbb{R}^3 \) ....

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Hallo limonade,
im Vektorraum ℝ3 gibt es 3 "Arten" von Unterräumen:
-  den ℝ3 selbst                             (dim = 3)
-  Ebenen, die (0, 0, 0) enthalten  (dim = 2)
-  Geraden, die (0,0,0) enthalten   (dim = 1)
- { 0, 0, 0) } = { Nullvekor }             (dim = 0)

Wenn zwei Unterräume zu Beispiel geschnitten werden sich ihr Durchschnitt immer um eine Dimension verringert ?

Ja, wenn es sich um zwei verschiedene Unterräume mit gleicher Dimension handelt und der Durchschnitt nicht leer ist.

Da die beiden Unterräume aber nicht die gleiche Dimension haben müssen, welche soll sich dann um 1 verringern?

Beispiel:

(Ebene E durch O) ∩ (Gerade g durch O)  =

             -  Gerade durch O, wenn g⊂E   ( Betragsdifferenz der Dimensionen 1)

             -  { 0, 0, 0) }, wenn g⊄E und g nicht parallel zu E

                               ( Betragsdifferenz der Dimensionen 2)

             -  {  }  , wenn  g || E und g⊄E, aber { } ist kein Unterraum.

... beide Unterräume 3-dimensoinal

Der einzige 3-dimensionale UR von ℝ3 ist ℝ3 selbst.

 Einen "echten" dreidimensionalen UR von ℝ3 gibt es nicht.

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

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