Wie wurde hier umgeformt (Mengen)? f^(-1) ( f(B) )

Question

M, L sind Mengen. f: M-->L eine Abbildung.
Sei f injektiv. Dann ist für alle B⊂M:$$f^{-1}(f(B))=\{x\in M|f(x)\in f(B)\} \overset{?}=\{x\in M|\exists \tilde{x}\in  B:f(x)=f(\tilde{x})\}=\cdots=B$$ Wie formt man \(\{x\in M|f(x)\in f(B)\}\) zu \(\{x\in M|\exists \tilde{x}\in  B:f(x)=f(\tilde{x})\}\) um?

Oder sagt man einfach: Es gibt mindestens ein x, das ein Element aus B ist für das \(f(x)=f(\tilde{x})\) gilt und wie kann man den Fakt, das f injektiv ist, verwenden, um darauf zu schließen, dass \(f^{-1}(f(B))=B\) ist.

Comments

ist das so ok?$$f^{-1}(f(B))=\{x\in M:f(x)\in f(B)\}=\{x\in M:\exists \tilde{x}\in B:f(x)=f(\tilde{x})\}\overset{\text{[f ist injektiv]}}=\{x\in M:\exists \tilde{x}\in B: x=\tilde{x}\}=\{x\in M : x\in B\}=M∩B\overset{B⊂M}= B $$

Answer 1

Das ist alles richtig soweit.

Wie formt man {x∈M|f(x)∈f(B)} zu {x∈M|∃x*∈B:f(x)=f(x*)} um?

Betrachte dazu mal die Definition

$$ f(B) :=\{ f(x)~|~ x\in B \} $$

und wenn du jetzt weißt, dass für ein \( x\in M\) eben \( f(x) \in f(B)\) gilt, dann muss es nach obiger Definition ein \( x^*\in B\) geben, s.d. \( f(x) = f(x^*)\).

Comments

Ich verstehe diesen Aufgabentypus irgendwie gar nicht

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Könntest du das bitte ein wenig konkretisieren? Was genau verstehst du an dieser Aufgabe(nart) bzw. an ihrer Lösung nicht?