Vollständige Induktion Rechnung

Question

Aufgabe:

Wie kommt man von

= 1+1/2 * ( 1/(2^m-1) + 2) = 1/(2^m) +2

Problem/Ansatz:

Der Ablauf von der restlichen Aufgabe ist mir klar, jedoch verstehe ich nicht, wie man auf die Lösung gekommen ist. Könnte mir das vielleicht bitte jemand erklären wie man das ausgerechnet bzw. umgeformt hat?

Answer 1

\(\begin{aligned} 1+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2^{m-1}}+2\right) & =1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^{m-1}}+\frac{1}{2}\cdot2\\ & =1+\frac{1\cdot1}{2\cdot2^{m-1}}+\frac{1\cdot2}{2}\\ & =1+\frac{1}{2^{m}}+1\\ & =\frac{1}{2^{m}}+2 \end{aligned}\)

Answer 2

\( \frac{1}{2^{m}} \) ist doch das selbe wie \( \frac{1}{2*2*2*2*...*2*2} \) und dies m-mal, aka. \( \frac{1}{2} \)*\( \frac{1}{2} \)*\( \frac{1}{2} \)*\( \frac{1}{2} \)*\( \frac{1}{2} \)*\( \frac{1}{2} \)* und dies m-mal

Machst du das selbe einfach m-1 mal so bleibt ein \( \frac{1}{2} \) übrig, also das übrige \( \frac{1}{2} \) * \( \frac{1}{2^{m-1}} \). -1 weil du einmal weniger \( \frac{1}{2^{m-1}} \) multipliziert hast.

Also:

Zuerst ziehst du das \( \frac{1}{2} \) in die Klammer = 1 + ( \( \frac{1}{2^{m}} \) + 1), weil  \( \frac{1}{2} \) * \( \frac{1}{2^{m-1}} \) = \( \frac{1}{2^{m}} \)

Somit \( \frac{1}{2^{m}} \) + 2

Hoffe ist klar. Viel Erfolg

Comments

Danke auch Dir für die schnelle Antwort, aber die 1 steht tatsächlich davor. Habe bereits meinen Denkfehler entdeckt.