Question

Sei c²+s²=1 und A die Spiegelung an der Geraden R*(c,s).

a) Sei b1=(c,s) und b2=(-s,c). Zeigen Sie, dass B=(b1,b2) eine Basis des R² ist.

b) Bestimmen Sie A bezüglich der Basen B.

c) Bestimmen Sie die Matrix von A.

Comments

MLU Halle (Saale)?

Answer 1

a)

Wären $b_1,b_2$ linear abhängig, dann gäbe es $\lambda\in R^*$ mit (o.B.d.A.)
$b_2=\lambda\cdot b_1$, also $-s=\lambda c, \; c=\lambda s$.
Hieraus folgt:$$1=c^2+s^2=\lambda^2c^2+\lambda^2s^2=\lambda^2(c^2+s^2)=\lambda^2$$also $\lambda=\pm 1$
Aus $\lambda=-1$ würde folgen: $c=-s=-c$, also $c=s=0$,
Widerspruch zu $c^2+s^2=1$. Auf gleiche Weise führt $\lambda=1$
zu einem Widerspruch.

b) $A(b_1)=b_1, \; A(b_2)=-b_2$

c) Daher ist $$M_B^B(A)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right)$$