Wie zeige ich Linearität von F? F: V - > R, f -> f(1)

Question

Hallo :)

Ich weiß bei folgender Aufgabe nicht so recht wie ich zeigen soll, dass F linear ist.  Normalerweise weiß ich wie so was geht: f(s(a+b)= sf(a) + sf(b) Aber hier verwirren mich die Bedingungen

Wie zeige ich Linearität von F? F: V - > R, f -> f(1)

Comments

Was hat es mit fs und sf auf sich?

Davon ist im Bild nichts zu sehen.

Ausserdem fehlt irgendwo eine schliessende Klammer.

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Das ist wie man ganz allgemein zeigt ob eine Abbildung f linear ist. s,a,b ∈ℝ

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Die schliessende Klammer fehlt immer noch.

Ausserdem: Soll in deinem Bild F die / eine Stammfunktion von f sein?

Tippe bitte die Fragestellung im Bild sauber ab. https://www.mathelounge.de/schreibregeln

D.h. Kommentar mit der korrekten vollständigen Frage nachliefern.

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Das weiß ich nicht. In der Aufgabe steht nur das was ich aufgeschrieben habe, daher kann ich nicht mit Sicherheit sagen  ob F die Stammfunktion von f sein soll.

Answer 1

Mach dir erst mal klar was hier die "Vektoren" sind.

Das sind Polynome vom Grad ≤ 3 , die sehen also so aus

a= a3x^3 + a2x^2 +a1x+ao und  b= b3x^3 + b2x^2 +b1x+bo .

mit a3,a3,a1,ao,b3,.... aus R.

Dann ist also z.B. F(a) = a(1) = a3 + a2 +a1+ao

denn beim Einsetzen wird x^3 , x^2 etc zu 1.

und  also  F(b) =  b3 + b2 +b1+bo .

Dein Ansatz : f(s(a+b)= sf(a) + sf(b)  heißt richtig

 F(s(a+b))  = sF(a) + sF(b)   denn du sollst ja die

Linearität von F zeigen .

und jetzt musst du nach der Definition der Addition und S-Multiplikation

in deinem Vektorraum vorgehen und bekommst

 s(a+b) = s(a3+b3)*x^3 + s*(a2+b2)*x^2 + s*(a1+b1)*x + s*(ao+bo)

und für  F(s(a+b))wieder überall x=1 einsetzen etc....

Comments

Mir war das mit den Polynomen nicht klar. Jetzt verstehe ich es :)