Beweis: Übergangsmatrix zwischen zwei orthonormalen Basen ist eine orthogonale Matrix

Question

Aufgabe:

Es seien E und F orthonormale Basen des Skalarproduktraumes V.

Zeige, dass die Übergangsmatrix von E nach F eine orthogonale Matrix ist.

Problem/Ansatz:

Für eine orthogonale Matrix gilt ja: E^T E = I bzw. F^T F = I 

Das gilt auch für (EF)^T (EF) = I

orthonormale Basen sind auf die Länge 1 normiert und haben das Skalarprodukt 0 (sind orthogonal)

Das heißt, ja das E und F ein Orthonormalsystem aufbauen.

Übergangsmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Zeilen- oder Spaltensummen Eins betragen und deren Elemente zwischen Null und Eins liegen.

Beweis: 

Da E und F orthonormal Basen des Sklarproduktraumes V sind, sind sie auf die Länge 1 normiert und sind orthogonal. Das heißt sie spannen ein Orthnormalsystem auf.

Wie kann ich hierbei vorgehen? DANKE

Answer 1

Eine Matrix E ist orthogonal, genau dann wenn $$\mathrm{det}(E) = \pm 1$$

Gilt $$EV = F$$ gilt mit Rechenregeln für die Determinante:

\begin{aligned}
\mathrm{det}(EV) = \mathrm{det}(E) \cdot \mathrm{det}(V) &= \mathrm{det}(F) &\Leftrightarrow \\
\pm 1 \cdot \mathrm{det}(V) &= \pm 1 &\Leftrightarrow \\
\mathrm{det}(V) &= \pm 1
\end{aligned}

$$\Rightarrow V \text{ ist orthogonal } $$