Matrizen als Übergangsmatrix: Man zeige dass B1 und B2 Basen des R^{3} sind.

Question

Gegeben seien im Vektorraum R³ die Mengen

\( B_{1}=\left\{\left(\begin{array}{c}-2 \\ 5 \\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-4 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right\} \) und \( B_{2}=\left\{\left(\begin{array}{c}-3 \\ 0 \\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-4 \\ 2 \\ -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-5 \\ 2 \\ -1\end{array}\right)\right\} \)

a) Man zeige dass B1 und B2 Basen des R³ sind.

b) Man bestimme die Basisübergangsmatrix von B1 zur B2 und umgekehrt.

Answer 1

musst zeigen, dass die gegebenen drei Vektoren in beiden Fällen linear unabhängig sind,
3 lin. unabh. Vektoren von IR^3 sind immer eine Basis.

dann schreibe dir doch die drei Basisvektoren jeweils hintereinander in
eine 3x3 Matrix und für den Übergang brauchst du dann eine Matrix M mit


M   *   B1  =  B2      also    M = B2 * B1^{-1} =

19/15   -2/15     1/15
-4/5        2/5        -6/5
4/5         -2/5        11/5

und andersherum dann die Inverse davon.

Comments

wie meist du das mit hintereinander schreiben?? Oder ich frage mal so, wie bist du auf die werte 19/15, -2/15, etc gekommen?? hast da was mal genommen?? woher kommt den der nenner 15??? und wegen M hast du ja gesagt, man man braucht das ja zum rechnen, sprich m*B1. Aber wenn ich keinen M gegeben habe, kann ich das doch nicht mit B1 multiplizieren? Muss ich das erstellen??

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M   *   B1  =  B2  war der Ansatz!

wenn man das von rechts mit der

Inversen Matrix von  B1 also mit b1^{-1} multipliziert,

hat man    M = B2 * B1^-1

Und die inverse Matrix hatte ich berechnet,

ich dachte, das wäre eine dir bekannte Methode.

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irgendwie komm ich mit dem Thema bzw. der Aufgabe nicht klar...ok also M=B2*B1. Die haben wir ja gegeben. 

Aber auf die Werte komme ich nicht, weil du hast ja fast immer Bruch heraus, deshalb weiß ich grad nicht, was da gemacht wurde, ob du B1 von der B2 abgezogen hast, addiert hast oder umgekehrt...ich komme nicht auf 19/15...

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B2 mal die INVERSE von B1

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kann ich auch direkt mit B1 und B2 den gauß jordan verfahren nehmen und das ergebnis das direkt berechnen...

wenn ich jetzt B2 * B1 ( inverse matrix nehme), habe ich dann die aufgabenteil a) der b)

irgendwie endet die Aufgabe nie....

und für die Inverse von B1 habe ich als ergebnis 

2/15  -1/15   8/15

-1/3   2/3      -4/3

-1/15   -7/15   11/15

ist das zu mindestens richtig?? 

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Die Inverse stimmt.

Jetzt B2 mal diese (nicht andersrum!) dann hast du das M

für den Basiswechsel von B! nach B2

und davon die Inverse ist dann die andere gesuchte Matrix.

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ok das mal B2 habe ich auch heraus...da komme ich auch auf deine werte :=)))

das war jetzt der basiswechsel von B1 zu B2 gewesen oder???

und für den anderen teil, also von B2 zu B1. muss ich da auch den inversen von B2 rechnen und das mal B1.

ist das so richtig?? weil beim ersten teil hatte ich ja die inverse von B1 gerechnet....

und eine frage hätte ich da noch...die aufgabe bestand ja auch zwei fragen, aber wir machen ja gerade den teil b) oder hängt der teil a) mit in b) zusammen....

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bei Teil a) musst du nur zeigen, dass die 3. Vektoren jeweils lin. unabh. sind.

Das fplgt allerdings auch aus der Tatsache dass jeweils die inverse Matrix existiert.

Für den 2. Teil von b) kannst du auch einfach die Inverse vom Ergebnis des 1. Teils nehmen.

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ich wollte jetzt die Inverse von B2 ausrechnen und das mal B1. Das wäre doch richtig oder...ich möchte nämlich nicht durcheinander kommen :=))