Integral: Fläche, die vom Graphen von f, der Tangente in P(1/f(1)) und der y-Achse eingeschlossen wird?

Question

Wie löse ich das Integral?

Aufgabe:

f(x) = 5x*(2ln(x) +1)

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Fläche, die von dem Graphen von f, der Tangente im Punkt P(1/f(1)) und der y - Achse eingeschlossen wird.

Problem/Ansatz:

t(x) = 15x - 10

Answer 1

Deine Tangente stimmt. Du kannst dir mal mal beide Funktionen plotten, um das Problem zu veranschaulichen.

Comments

Ja hab ich aber komme nicht weiter

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Ok. Das ganze sieht ja so hier aus:

~plot~ 5*x*(2*ln(x)+1);15x-10;{1|5};[[-0.5|1.5|-11|6]] ~plot~

Problematisch ist ja hier, die Nullstelle von der Funktion f, die sich nur schwer und auch näherungsweise bestimmen lässt. Wir können doch aber mal unser gesamtes Konstrukt solange nachoben verschieben, sodass wir dieses Problem nicht mehr haben. Dann sieht die Skizze so aus:

~plot~ 5*x*(2*ln(x)+1)+10;15x-10+10;{1|5+10};[[-0.5|1.5|-1|16]] ~plot~

Ich habe einfach mal alles um 10 LE nachoben verschoben. Damit hat sich an den Flächen auch nichts geändert und wir sind das lästige Problem mit den Nullstellen los. Kommst du vielleicht jetzt weiter?

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Jetzt ist es einfach nur noch $$ A=\int_0^1 \big(f(x)+10\big) dx-\int_0^1 \big(t(x)+10 \big) dx  $$

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Subtrahiert sich die 10 dann nicht einfach wieder weg?

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Ja, das tut sie. Deshalb kann man auch so eine Verscheibung in y-Richtung durchführen. Das hier so zu machen, macht das Problem einfach ,,schöner'' zu lösen.

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Das ist nicht schöner, sondern schlicht unnötig. Es langt völlig, die Differenzfunktion f-t zu integrieren.

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Es langt völlig, die Differenzfunktion f-t zu integrieren.

Es ist schön, dass du das sofort siehst. Aber es ist nur eine andere Herangehensweise. Die effizientesten Wege sind nicht immer gleich die besten und einsichtigsten.

Klar ist es unnötig, aber es sollte nur eine Veranschaulichung sein, dass man das auch so machen kann, wenn man (z.B wegen der Nullstelle) verunsichert sein sollte...

Answer 2

https://www.integralrechner.de/