Abbildung zeigen Sie Endomorphismus und nilpotent

Question

Aufgabe:

Für A ∈ M (n; K) definieren wir die Abbildung

ad A: M(n;K) → M(n;K)

durch

(ad A) (B)= AB-BA; B ∈ M(n;K).

Zeigen Sie:

a) ad A ist ein Endomorphismus des K-Vektorraumes M(n, K).

b) Wenn A nilpotent ist, so ist auch ad A nilpotent.

Problem/Ansatz:

Ich weiß hier nicht wirklich wie ich es machen muss. ich weiß, dass nilpotent bedeutet das eine zahl gibt die dafür sorgt das die Nullabbildung rauskommt bzw. eine Matrix wird so oft mit sich selbst multipliziert das irgendwann die Nullmatrix raus kommt.

 zu a) bin ich komplett ahnungslos.

bei b) war meine Überlegung wenn A nilpotent ist dann steht ja laut Aufgabenstellung ja folgendes

(ad A) (B)= AB-BA = (ad A) (B) = 0-0=0

weil ja A irgendwann 0 annimmt und somit A*B =0 wird. Hoffe das ich bis dahin kein Denkfehler habe. Jetzt muss ich allerdings ja noch irgendwie das "(ad A) bzw. das (B) auch noch betrachten. Allerdings weiß ich nicht was mir fehlt an Gedankenschritten.

Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

ad A ist ein Endomorphismus des K-Vektorraumes M(n, K).

Dazu musst du nur zeigen :  Sei A ∈ M(n, K).

1.   Bild( ad A ) ⊆   M(n, K).

Das ist klar, denn zu jedem B  ist  ja   (ad A) (B) = AB - BA ∈ M(n, K).

2.    (ad A) (B+C) =  (ad A) (B) + (ad A) (C)

nachrechnen zeigt  (ad A) (B+C)

                       = A*(B+C) - (B+C)*A

                    = A*B+A*C  - (B*A +C*A)

                      = A*B+A*C  -B*A - C*A

                   = A*B -B*A    +A*C  - C*A

                    =  (ad A) (B) + (ad A) (C)

3. Für alle x∈K und B∈ M(n, K). gilt

             (ad A) (x*B) =  x*(ad A) (B)

Auch das einfach nachrechnen !

zu b) Beweise durch vollst. Induktion:

Für alle B∈ M(n, K) gilt  (ad A)^n (B)  = A^n*B + B*A^n .

Wenn also A^n = 0 ist, dann auch für alle B

(ad A)^n (B)   = 0

Comments

danke dir dann war ja meine Überlegung zu b) gar nicht mal so verkehrt.

Ich würde denn Induktionsbeweis nun so aufschreiben.

Induktionsbehauptung:

(ad A) (B)= AB-BA; B ∈ M(n;K)

Für alle B ∈ M(n,K) gilt: (ad A)ⁿ (B)= Aⁿ*B-B*Aⁿ

Zu zeigen das es auch für n+1 gilt.

Induktionsschritt:

(ad A)ⁿ⁺¹ (B)= Aⁿ⁺¹*B-B*Aⁿ⁺¹

Da nach definition nilpotent bedeutet das es eine Zahl gibt wo A=o wird, muss auch n+1=0 werden.

Wenn also An=0 ist, dann werden auch alle B=0, somit ist (ad A)ⁿ (B)=0.

Ist das so formal Inordnung?

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Dein Induktionsbeweis scheint mir etwas knapp:

Für alle B ∈ M(n,K) gilt: (ad A)^n (B)= A^n*B-B*A^n .

n=1 : Da stimmt es, ist genau die Def. von ad A.

Wenn es für ein n gilt, also (ad A)^n (B)= A^n*B-B*A^n

dann gilt :  (ad A)^(n+1)  (B)= (ad A)( ad A ) ^n (B)

                   = (ad A)  ( ( ad A ) ^n (B) )

                   = ad A ( A^n*B-B*A^n )

                   = A * ( A^n*B-B*A^n ) -  ( A^n*B-B*A^n )*A

                      = A^(n+1)*B-B*A^(n+1)  -  ( A^(n+1)*B-B*A^(n+1) )

                    = A^(n+1)*B-B*A^(n+1)  -   A^(n+1)*B   + B*A^(n+1)

                        = A^(n+1)*B   -   A^(n+1)*B  .    q.e.d.