1. stimmt. Bew.:
sei J ein Ideal im Ring R und f ein Ringhomomorphismus.
Da keine Rede von rechts- oder links Ideal ist, nehmen
wir mal links an.
Beh.: f(J) ist ein Ideal
Zu zeigen ist .
1. 0 ∈ f(J ) [ erfüllt, weil 0 ∈ J , also f(0)=0 ∈ f(J) ]
2. für alle a,b∈ f(J ) ist a-b ∈ f(J ).
Seien also a,b∈ f(J )
==> Es gibt x,y ∈ J mit f(x)=a und f(y)=b
Mit x und y ist aber auch x-y ∈ J und damit
f(x-y) ∈ f(J) und es ist f(x-y) = f(x) - f(y) = a-b wegen
der Linearität von f
3. für alle a∈ f(J ) und r∈ R ist r*a ∈ f(J ).
Seien a∈ f(J ) und r∈ R .
==> Es gibt x ∈ J mit f(x)=a
==> r*a = r*f(x) = f(r*x) ∈ f(J) . q.e.d.
