Zusammenhang Spur einer Matrix und Skalarprodukt

Question

Aufgabe: Die Spur einer Matrix A=(a_ij) _i,j=1,...,n  ∈ M_nxn (ℝ) ist definiert als tr(A):= ∑ a_ii (i=1,...,n)

(1) Zeige, dass durch ⟨A,B⟩ := tr(B^T A) ein Skalarprodukt auf M_nxn (ℝ) definiert ist.

(2) Bestimme eine Orthonormalbasis von M_nxn (ℝ) bezüglich dieses Skalarproduktes.

Problem/Ansatz: Wie kann man dies am besten lösen?

Vielen Dank!

Answer 1

Für 1) musst du nur die Axiome für ein Skalarprodukt überprüfen:

Bilinearität, Symmetrie , pos. Definitheit

z.B. Symmetrie ginge so:  Seien A,B aus M_nxn(ℝ)

zu zeigen:   <A,B> = <B,A>  Def. anwenden gibt

      tr(B^T* A)   =   tr(A^T* B)     #

Für die Spur brauchst du ja nur die Elemente auf der

Hauptdiagonale und die stimmen für B^T* A und

A^T* B überein, also gilt # für alle Matrizen.

u.s.w.

Comments

Danke, das hilft mir sehr.

Und wie finde ich für 2. eine Orthonormalbasis, bzw. überhaupt erstmal eine Basis zu diesem Skalarprodukt?

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Eine Basis von M_nxn(ℝ) besteht z.B.

aus allen Matrizen, die an irgendeiner Stelle ne 1 und

sonst alles 0en haben.