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Aufgabe:

Es seien an, bn ∈ R, für n ∈ ℕ mit der Eigenschaft an ≤ an+1
bn+1 ≤ bn für n ∈ N. Zeigen Sie, dass die Menge ∩n∈ℕ[an,bn] nichtleer ist.


Problem/Ansatz:

So wie ich die Aufgabe verstehe handelt es sich um zwei Folgen. Die a Folge wird immer größer und die b folge immer kleiner. Jetzt muss ich aber zeigen, dass die sich schneiden. Wenn ich davon ausgehe dass beide Folgen divergieren dann ist das Supremum von der Schnittmenge = bn und das Infimum der Schnittmenge = an.

Aber wie zeige ich das korrekt und ist mein Gedanke überhaupt richtig?

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ich sehe die Frage erst jetzt.

Beweis:

Jedes bnb_n ist eine obere Schranke für A : ={an : nN}A:=\{a_n : n\in \mathbb{N}\}. Demnach existiert ein Supremum von AA; nachfolgend als xx bezeichnet. Nun ist also anxa_n \leq x für alle nn, jedes bnb_n eine obere Schranke und xx das Supremum, daher xbnx\leq b_n für alle nn. Deswegen gehört xx zu jedem [an,bn][a_n,b_n].

Das Übungsblatt ist aber schon Schnee von gestern!

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