Ungleichung mit reellem Exponenten beweisen

Question

Für alle x aus den reellen Zahlen größer gleich 1 gilt 2^x größer gleich 2x

Wie beweise ich diese Ungleichung? Hatte etwas mit Bernoulli versucht, etwas mit Umformen aber scheine keine offensichtliche Abschätzung zu finden.

Comments

Die Aussage gilt wohl nicht für 1<x<2.

Answer 1

Spacko hat schon richtig erwähnt, dass es nicht überall gilt.

Nehmen wir x>2 an.

Es ist 2^2=2*2 , die Funktionswerte sind also an der Stelle x=2 gleich.

Betrachte nun die erste Ableitung:

(2^x)'=ln(2)*2^x, (2x)'=2

Es gilt

ln(2)*2^x>2 für x>=2

Beide Seiten sind monoton wachsend, aber die linke Seite 2^x wächst stets stärker an als die rechte Seite. Damit ist gezeigt, dass 2^x>2x für x>2