Wie zeige ich die Bernoullische Ungleichung für reelle Exponenten?

Question

Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter.

Ich soll die Bernoullische Ungleichung (1+x)^k >=1+kx , k>=1 , x>=-1 für reelle Exponenten beweisen.

Ich hätte an den Mittelwertsatz der Differentialrechnung gedacht, aber weiter komme ich nicht. Kann mir jemand einen Tipp geben?

Answer 1

Wie wäre es mit der Abschätzung der Taylorreihe um xo=0 für f(x) = (1 +x)^k

(1+x)^k = f(x) = f(0) + f'(0)*x + f ' ' (x) * x² / 2! + ....

                   = 1 + k*x + .........................

und alles was danach kommt ist nicht negativ, also

               f(x)      ≥  1 + kx

Comments

Darf ich leider nicht verwenden. Nur, dass wenn f'>= g' gilt f>= g ist. Mit f(a)>=g(a) auf [a,b].