Sei V ein Vektorraum über dem Körper K

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Behauptungen:

a) Jedes System von linear unabhängigen Vektoren aus V ist eine Basis von V.

b) Wenn V eine Basis aus n Vektoren besitzt, so ist jedes System mit mehr als n verschiedenen Vektoren aus V ein Erzeugendensystem von V.

Answer 1

Beides falsch:

zu a) Betrachte (1,0,0) und (0,1,0) in R^3.

sind lin. unabh. aber keine Basis

zu b) Basen von R^2 haben zwei Elemente.

(1,0) , (2,0) , (3,0)  sind mehr

als 2, erzeugen aber z.B. (0,1) nicht.

Comments

wegen b)

Könnte man aber nicht einfach im Erzeugenden System den zusäzilchen Vektor mit 0 multiplizieren, also Lambda  von dem zusätlichen Vektor 0. Dann würde am Ende ja einfach nur plus 0 stehen und nichts würde sich änderen?