hallo
1.
z -> z + 1/z
z = x + iy
f(z) = z + 1/z = z + 1/(x + iy) = z + (x - iy)/((x + iy)(x - iy)) =
z + (x - iy)/(x^2-(iy)^2) = z + (x - iy)/(x^2+y^2) =
z + (x - iy)/1 = x + iy + (x - iy)/1 = 2x
f(z) = 2x
die funktion f(z) bildet also z mit dem zweifachen realteil auf der
reellen achse ab.
____________________________________________________________________
z -> z+i/z
z = x + iy
z + i/z = z + i/(x + iy) = z + i(x - iy)/((x + iy)(x - iy)) =
z + ix + y = x + iy + ix + y = x+y + i(x+y)
g(z) = x+y + i(x+y)
die funktion g(z) addiert real- und imaginärteil woraus wiederum
ein neuer real- und imaginärteil entsteht.
____________________________________________________________________
welche argumente, also welche z kommen für f, g, in frage?
|z| = 1 = √(x^2+y^2)
√(x^2+y^2) = 1
y = ±√(1-x^2)
-1 <= x < 1
aus -1 <= x < 1 bekommt man das y über y = ±√(1-x^2)
____________________________________________________________________
2.
f(z) = 1 -> Re(z) = 0.5
Im(z) = √(1-x^2) = √(1-0.5^2) = √(0.75)
es kommen zwei komplexe zahlen in frage
0.5 + i√(0.75), 0.5 - i√(0.75)
von denen sich die argumente berechnen lassen.
die beiden zahlen -0.5 + i√(0.75) und -0.5 - i√(0.75) kommen nicht in
frage, weil f(z) = -1 ergibt.
mfg
