Eigenvektoren und Eigenwerte

Question

Aufgabe:

$$\text{Es seien } f: \ V\rightarrow V \text{ eine lineare Abbildung, } v_1,...,v_n\in V \\\text{Eigenvektoren von f, und diese bilden eine Basis für V}$$ Sind dann auch die Eigenwerte von f paarweise verschieden?

Problem/Ansatz:

$$\text{Ich betrachte n Eigenwerte von f } \lambda_1,...,\lambda_n \in \mathbb{K}.\\\text{Zu zeigen: Für alle }1≤i,j≤n \text{ gilt mit } i≠j \text{ die Eigenschaft } \lambda_i \neq \lambda_j$$

Annahme:

$$\text{Es gibt }1\leq i,j\leq n \text{ mit } i\neq j \text{ sodass } \lambda_i = \lambda_j. (*)$$

$$\text{Es gilt jeweils }(f-\lambda_i\cdot id)\cdot v_i=0,\quad (f-\lambda_j\cdot id)\cdot v_j=0 \text{ bzw., }\\0=(f-\lambda_i\cdot id)\cdot v_i+(f-\lambda_j\cdot id)\cdot v_j \Leftrightarrow f\cdot (v_i+v_j)=\lambda_i\cdot v_i+\lambda_j\cdot v_j\stackrel{(*)}{=} \lambda_i\cdot (v_i+v_j)$$

$$\text{Dann ist } v_i+v_j \text{ Eigenvektor zum Eigenwert } \lambda_i \text{. Es sind aber aller Eigenvektoren von f}\\\text{nach Voraussetzung linear unabhängig. Widerspruch zur Annahme.}$$

Funktioniert mein Beweis?

Answer 1

Es sind aber aller Eigenvektoren von f nach Voraussetzung linear unabhängig-

Das ist nicht Bestandteil der Voraussetzungen. Vorausgesetzt wird lediglich, dass die Eigenvektoren v₁, ..., v_n linear unabhängig sind.

Wegen f(v) = λv ⇒ αf(v) = αλv = λ·(αv) ist jedes Vielfache eines Eigenvektors evenfalls Eigenvektor. v und αv sind aber linear abhängig.

Sei V = ℝ³ und f =  $\begin{pmatrix} 2&0&0\\0&2&0\\0&0&2 \end{pmatrix}$.

Comments

v_i+v_j sind doch linear abhängig und Eigenvektor zum Eigenwert λ_i. Ich habe aber doch nur linear unabhängige Eigenvektoren für f voraussgesetzt.

Also ist das ein Widerspruch.

Ich verstehe deine Argumentation ab "Wegen..." nicht. Und was willst du mir mit der Matrix zeigen?

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Ich habe aber doch nur linear unabhängige Eigenvektoren für f voraussgesetzt.

Formuliere das bitte etwas präziser.

Ich verstehe deine Argumentation ab "Wegen..." nicht.

Jedes Vielfache eines Eigenvektors ist Eigenvektor (zum selben Eigenwert). Gibt es einen Eigenvektor v, dann gibt es also in jedem Fall auch einen Eigenvektor w≠v, so dass v, w linear abhängig sind (außer wenn der zugrunde liegende Körper nur 2 Elemente hat).

Und was willst du mir mit der Matrix zeigen?

Bestimme Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix. Dann wirst du es sehen.

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Formuliere das bitte etwas präziser

Was fehlt denn noch?

Ok, anscheinend stimmt meine Vermutung leider nicht, weil:
Eigenwert : 2
Eigenvektoren : (x_1,x_2,x_3) ,x_1,x_2x_3∈K

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Was fehlt denn noch?

Es ist nicht klar ob du meinst

        "Jede Menge von n Eigenvektoren ist linear unabhängig."

oder

        "Es gibt eine Menge von n linear unabhängigen Eigenvektoren."

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Ich meinte das zweite.