Basis vom Kern und Basis vom Bild einer 3x4 Matrix

Question

für a.) habe ich die Matrix umgeformt und rausbekommen, ist das so richtig?

bei b.) kann ich durch dim(Bild(A)) = 4-dim(Kern(A)) = 4-2 auf eine Dimension von 2 schließen, wie bekomme ich aber eine Basis vom Bild?

Answer 1

Ein Erzeugendensystem für das Bild wird immer von den

Spalten der Matrix A gebildet.

Da du schon weißt   dim = 2

kannst du jeden falls 2 weglassen, die restlichen müssen

nur linear unabhängig sein.

Offenbar kann man die ersten beiden nehmen.

Also eine  Basis ist  z.B.

$$\begin{pmatrix} 3\\1\\4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -5\\-1\\-2 \end{pmatrix}$$