Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.

Question

Aufgaben:

Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.

(a) \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}+2 x+3 \)

(b) \( g:[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=x^{3}-x \)

(c) \( h:(0, \infty) \rightarrow(1, \infty), h(x)=\frac{x+1}{x} \).

(d) \( v: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, v(n)=\left[\frac{n+1}{2}\right]:=\max \left\{k \in \mathbb{Z} ; k \leq \frac{n+1}{2}\right\} \)

Ansatz/Problem:

Was Injektiv, Surjektiv und Bijektiv ist weiß ich, jedoch habe ich keine Ahnung wie man es rechnet aber ich kenne die Lösungen schon und vielleicht helfen sie ja auch dabei mir etwas zu helfen,...

a) nicht inj./surj.

b) nicht inj./surj.

c) bijektiv

d) nicht inj. aber surj.

Answer 1

Bei den 3 Aufgaben, bei deinen du die Eigenschaften widerlegen musst, genügt es Gegenbeispiele zu liefern z.B. zum ersten f(-2)=f(0)=3 => nicht inj

Zur surjektivität: Du kannst dir z.b. eine negative Zahl als Ergebnis suchen und versuchen danach umzustellen

b) f(-1)=f(0)=> nicht inj

Hier bietet sich mehrere Sachen an. Du könntest z.b. schauen wo ein Extremum ist, dann zeigen das der Funktionswert an der Intervallgrenze der größte ist und so zeigen, dass jede größere Zahl nicht getroffen wird

Wenn du die Surjektivität zeigen möchtest dann kannst du dir ein beliebiges Bildelement nehmen und dich auf die Suche nach einem Urbild machen.

z.b. c) sei a € (1,oo) (x+1)/x=a => x=1/(a-1). Dann musst du dir noch kurz Gedanken machen, ob du wirklich für jedes a ein solches x finden kannst:

Es ist a>1, d.h. der Bruch ist für alle a definiert und x>0, aber nach oben unbeschränkt (also wie der Definitionsbereich). Also finden wir für alle a ein solches x.


Für die Injektivität kannst du z.b mal annehmen es gäbe x,y € R>0 mit

(x+1) /x=(y+1)/y

yx+y=yx+x => y=x. Also folgt aus gleichen Funktionswerten auch gleiche x-Werte


d) Nur so nebenbei: Die Aufgabe ist mir suspekt: Zielmenge ist n, aber als Ergebnis nimmt man ein Maximum über die ganzen Zahlen, auch wenn es hier keine Rolle spielt.

inj: setze z.b. n=1 & 2

surj. sei z € N  z=(n+1)/2 => n= 2z-1


Es gibt recht viele Möglichkeiten diese Sachen nachzuweisen.

Eine Möglichkeit ist auch, dass du dir die Steigung anschaust. Wenn diese z.b. einen Vorzeichenwechsel hat, kann die Funktion schonmal nicht injektiv sein.