Mehrfachbruch auflösen: (a - (2a)/(2-2/a)) / (1 + 1/(1-2/(a+1)))

Question

Dieser Mehrfachbruch bereitet mir Schwierigkeiten:

$$\frac { a - \frac { 2 a } { 2 - \frac { 2 } { a } } } { 1 + \frac { 1 } { 1 - \frac { 2 } { a + 1 } } }$$

Ich sollte auf eine Lösung von -1/2 kommen laut Lösungsheft.

Den Nenner habe ich folgendermassen ausgerechnet:

$$1 + \left( 1 : \left( 1 - \frac { 2 } { a + 1 } \right) \right)$$

was mir anhand der Lösung richtig erscheint. Der Zähler aber kann irgendwie nicht stimmen, habe versucht ihn auf diese Weise auszurechnen: \( a - \left( 2 a : \left( 2 - \frac { 2 } { a } \right) \right) \), wobei ich hier meine Zweifel habe.

Answer 1

Hi,

Du hast das nicht ausgerechnet, sondern umgeschrieben. Soweit richtig.

Den Nenner:

$$1-\frac{2}{a+1} = \frac{a-1}{a+1}$$

$$1+\frac{1}{\frac{a-1}{a+1}} = 1+\frac{a+1}{a-1} = \frac{2a}{a-1} = \frac{2a}{a-1}$$

Der Zähler:

$$2-\frac2a = \frac{2a-2}{a}$$

$$a-\frac{2a}{\frac{2a-2}{a}} = a-\frac{2a^2}{2a-2} = \frac{2a^2-2a-2a^2}{2a-2} = \frac{-2a}{2a-2} = \frac{-a}{a-1}$$

Insgesamt:

$$\frac{\frac{-a}{a-1}}{\frac{2a}{a-1}} = -\frac{1}{2}$$

Grüße