Seien ∈ M(m, n; R) eine m×n Matrix. Abbildung: f : Rn → Rm ,x → Ax. f ist genau dann injektiv, wenn Kern(f) = {0}.

Question

ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe

Es sei A ∈ M(m, n; R) eine m×n Matrix. Betrachten die Abbildung:  f : Rⁿ → R^m ,x → Ax

Verifizieren Sie: f ist genau dann injektiv, wenn Kern(f) = {0}.

Danke

Answer 1

Es sei A ∈ M(m, n; R) eine m×n Matrix. Betrachten die Abbildung:  f : R^n → R^m ,x → Ax.

Sei f Injektiv und x  ∈ Kern(f)

==>   f(x)  = 0    . Andererseits ist auch f(0)=A*0=0 ,

also gilt wegen  f Injektiv     x=0

==>   Kern(f)  ⊆ {0}.

Andererseits ist wegen  f(0)=A*0=0 auch 0 ∈ Kern(f) ,

also    Kern(f)  ⊇ {0}. Insgesamt also     Kern(f)  =  {0}.

Rückrichtung:  Sei    Kern(f)  =  {0}.

und seien a,b   ∈  R^n mit f(a) = f(b)

==>             A*a  =  A*b

==>       A*a  -  A*b = 0

==>       A*  (a  -  b)  = 0

==>       f(a-b) = 0

==>     a - b  ∈ Kern(f)

und wegen   Kern(f)  =  {0} also   a-b=0

also    a = b .                q.e.d.