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Bestimmen der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X
Um die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen \(X\) zu bestimmen, nutzen wir die gegebenen Informationen über die Verteilung der Kinder in Haushalten. Die Zufallsvariable \(X\) steht für die Anzahl der Kinder, die in dem Haushalt leben, aus dem das zufällig ausgewählte Kind stammt.
Da \(p_k\) die Wahrscheinlichkeit darstellt, dass ein zufällig gewählter Haushalt \(k\) Kinder hat, ist die erste Annäherung anzunehmen, dass \(P(X=k) = p_k\). Dies ist jedoch nicht korrekt, da wir ein Kind und nicht einen Haushalt auswählen. Die Wahrscheinlichkeit, ein Kind aus einem bestimmten Haushaltstyp (mit \(k\) Kindern) auszuwählen, ist proportional zur Anzahl der Kinder in diesen Haushalten.
Schritte zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
1.
Betrachtung der Gewichtung: Die Wahrscheinlichkeit, dass das zufällig ausgewählte Kind aus einem Haushalt mit \(k\) Kindern stammt, hängt nicht nur von \(p_k\) ab, sondern muss auch die Tatsache berücksichtigen, dass Haushalte mit mehr Kindern eine höhere Wahrscheinlichkeit haben, ausgewählt zu werden.
2.
Gewichtete Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit, ein Kind aus einem Haushalt mit \(k\) Kindern zu ziehen, ist proportional zu \(k \cdot p_k\). Das "Gewicht" jedes Haushalts \(k\) in der Auswahl ist demnach \(k\).
3.
Normalisierung: Um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu erhalten, müssen wir diese gewichteten Wahrscheinlichkeiten normalisieren, sodass ihre Summe 1 ergibt. Dies geschieht, indem die gewichtete Wahrscheinlichkeit jedes Haushaltes durch die Summe aller gewichteten Wahrscheinlichkeiten geteilt wird.
Mathematisch ausgedrückt erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit, dass das zufällig gewählte Kind aus einem Haushalt mit genau \(k\) Kindern stammt (\(P(X=k)\)):
\(
P(X=k) = \frac{k \cdot p_k}{\sum_{j=1}^\infty j \cdot p_j}
\)
Hierbei ist \(\sum_{j=1}^\infty j \cdot p_j\) die Summe der gewichteten Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Haushaltsgrößen, welche als Nenner dient, um die gewichtete Wahrscheinlichkeit eines Haushalts mit \(k\) Kindern zu normalisieren.
Diese Formel basiert auf der Annahme, dass der Bereich der möglichen Kinderanzahlen in einem Haushalt mit \(k\) beginnt, was ℕ umfasst (\(k \in \{1, 2, 3, ...\}\)).
Fazit:
Um die Wahrscheinlichkeitsfunktion \(P(X=k)\) für die Zufallsvariable \(X\) korrekt zu bestimmen, muss die anfängliche Wahrscheinlichkeit \(p_k\) jedes Haushalts entsprechend der Anzahl der Kinder in ihm gewichtet und über alle potenziellen Haushaltsgrößen normalisiert werden.
