Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion für zwei geometrisch verteilte Zufallsvariablen

Question

X und Y seien stochastisch unabhängige Zufallsvariablen, beide seien geometrisch verteilt mit Parameter p∈(0,1).

Bestimme die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von (X,Y).

Weiter sei U=min(X,Y) und V=max(X,Y). Bestimme die gemeinsame Verteilung von (U,V) sowie die Marginalverteilungen (Verteilung von U und Verteilung von V).

Answer 1

Hallo,

mit \( x = 1, 2, 3, \dots \) ist

\( p(x) = P(X = x) = p(1-p)^{x-1} \)

die Wahrscheinlichkeitsfunktion und

\( F(x) = P(X \leq x) = 1 - (1 - p)^x \)

die Verteilungsfunktion der geometrischen Verteilung (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Verteilung).

Wegen der stochatischen Unabhängigkeit von \( X \) und \( Y \) finden wir

\( F_{X, Y}(x, y) = F_X(x) F_Y(x) \)
\(= F(x) F(y) \)
\(= (1 - (1 - p)^x)(1 - (1 - p)^y) \).

Wir zerlegen nun

\( P( V \leq v) = P(U \leq u \land V \leq v) + P(U > u \land V \leq v) \).

Für \( u \geq v \) gleicht der zweite Summand Null und

\( P(U \leq u \land V \leq v) = P(V \leq v) \)
\( = P(X \leq v \land Y \leq v) \)
\( = P(X \leq v) P(Y \leq v) \)
\( = F_X(v) F_Y(v) = F^2(v) \).

Für \( u < v \) ist

\( P(U > u \land V \leq v) = P(u < X \leq v \land u < Y \leq v) \)
\( = P(u < X \leq v) P(u < Y \leq v) \)
\( = (F(v) - F(u))^2 \).

Insgesamt erhalten wir

\( P(U \leq u \land V \leq v) = \begin{cases} F^2(v) \text{ für } u \geq v \\ F^2(v) - (F(v) - F(u))^2 \text{ für } u < v \end{cases} \).

Die marginale Verteilung von \( V \) haben wir hier schon benutzt, sie ist \( F_V(v) = F^2(v) \). Die marginale Verteilung von \( U \) ergibt sich mit

\( F_U(u) = P(U \leq u) \)
\(= P(\min(X, Y) \leq u) \)
\( = P(X \leq u \lor Y \leq u) \)
\( = 1 - P(X > u \land Y > u) \)
\( = 1 - P(X > u) P(Y > u) \)
\( = 1 - (1 - P(X \leq u))(1 - P(Y \leq u)) \)
\( = 1 - (1 - F(u))^2 \).

Grüße

Mister

Quelle für die gemeinsame Verteilung: Abschnitt 4 auf Seite 5 von https://www.colorado.edu/amath/sites/default/files/attached-files/order_stats.pdf