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Aufgabe:

Sei X = {1,...,n} mit n ∈ N und f : X → X eine Abbildung

Man soll beweisen: f ist genau dann injektiv wenn f surjektiv ist


Problem/Ansatz:

Wie kann die angegebene Behauptung überhaupt beweisbar sein? Es  lässt sich leicht ein Gegenbeispiel zu finden:

F(x)=x^2

Bsp: 2=x^2

Wurzel 2 liegt aber nicht in X

D,h 2 wird nicht getroffen.

Aber 2 und ähnliche Zahlen sollen innerhalb des Wertebereichs legen. Daher F ist nicht Surj. (auf die formale Schreibweise verzichte ich hier)


Aber für x1 ungleich x2 ist F(x1) ungleich F(x2)

D.h F inj.


Folgt dass die Behauptung da oben, die bewiesen werden muss, ist wohl falsch.




Ist meine Denkweise und mein Vogehen in Ordnung? Oder habe ich mich irgendwo vertan?


Vielen lieben Dank!

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1 Antwort

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Oder habe ich mich irgendwo vertan?

X =  {1,...,n}

enthält nur n Elemente. D.h. n^2 liegt in der Regel nicht im Bildbereich. Schon bei n=2, ist n^2 = 4 nicht erlaubt. Damit ist dein vermeintliches Gegenbeispiel kein f: X -> X.

Avatar von 162 k 🚀

Hallo und danke für deine Antwort.


Nun ist n ein Element aus den natürlichen Zahlen.

D,h dass, wir mit den natürlichen zahlen hier handeln.

So sollte ja 4=x^2 gelten, denn 2 Element N ist.

Richtig. Aber 4 ist nicht Element von X.

X ist eine endliche Menge und enthält genau die in der Klammer aufgeführten n Elemente. Deine Funktion darf den vorgegebenen Bildbereich nicht "überschiessen".

Vgl. auch https://www.mathelounge.de/384640/endliche-funktion-surjektiv-injektiv-bijektiv-aquivalenz

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