Algebraische und Geometrische Vielfachheit der Eigenwerte bei Matrizen

Question

a) Bestimmen Sie für die Matrize M1 =

1    0    0

−1 −2  1

0    −2  1  ,

Eigenwerte und Eigenvektoren und die algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte

b) Geben Sie eine Matrix S1 an, so dass S1^-1 M1S1 eine Diagonalmatrix ist.

c) Geben Sie eine orthogonale Matrix S2 an, so dass S2^T M2S2 eine Diagonalmatrix ist.



Die Eigenwerte und Eigenvektoren habe ich bereits ausgerechnet.

Wie kann ich die geometrische und algebraische Vielfachheit ausrechnen?

Die b und c verstehe ich leider überhaupt nicht vor allem verwirren mich aber Bezeichnungen wie S1^-1 M1S1

Answer 1

Eigenwerte 0 ; -1 und 1 .

Haben alle die algebraische Vielfachheit 1,

da alle Linearfaktoren 1. Grades sind.

Für die geometrische Vielfachheit bestimme die

Dimension von   det ( M - Eigenwert*Einheitsmatrix)=0

also z.B. für Eigenwert 1  den Lösungsraum des homogenen

Gleichungssystems zu

0    0   0
-1 -3   1
0  -2   0 . Also dim=1  und eine Basis des Lösungsraumes

bildet z.B. der Vektor

1
0
1

und entsprechend für EW -1

2    0   0
-1 -1   1
0  -2   2 . Also wieder dim=1  und eine Basis des Lösungsraumes

bildet z.B. der Vektor

0
1
1

und für die 0 auch 1 mit mögl. Basisvektor
0
1
2

Also ist die gesuchte Matrix (in den Spalten

die Basisvektoren) S=

0     0     1
1     1     0
2     1      1

Also S^(-1) =

-1    -1     1
1     2      -1
1     0       0

Und wenn du nachrechnest ist

S^(-1) * M1 * S =

0      0      0
0      -1      0
0      0       1

die gesuchte Diagonalmatrix mit den

Eigenwerten in der Diagonalen.

Comments

Vielen dank für deine Hilfe.

MIr stellt sich grade nur die Frage wie du auf die Vektoren z.b.

1

0

1

gekommen bist

---

0    0   0
-1 -3   1
0  -2   0

Du interpretierst das wieder als hom. lin. Gl.system

0x+0y+0z=0
-x -3y +z=0
     -2y     =0

und bekommst y=0 und aus der ersten x ist beliebig

etwa x=t und das in die zweite gibt

-t + 0 + z = 0, also auch z=t.

Insgesamt alle Vektoren der Form

t
0
t

konkret also  z.B. der Vektor

1
0
1

als Basisvektor.