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a) Bestimmen Sie für die Matrize M1 =

1    0    0

−1 −2  1

0    −2  1  ,

Eigenwerte und Eigenvektoren und die algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte

b) Geben Sie eine Matrix S1 an, so dass S1^-1 M1S1 eine Diagonalmatrix ist.

c) Geben Sie eine orthogonale Matrix S2 an, so dass S2T M2S2 eine Diagonalmatrix ist.



Die Eigenwerte und Eigenvektoren habe ich bereits ausgerechnet.

Wie kann ich die geometrische und algebraische Vielfachheit ausrechnen?

Die b und c verstehe ich leider überhaupt nicht vor allem verwirren mich aber Bezeichnungen wie S1^-1 M1S1

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Eigenwerte 0 ; -1 und 1 .

Haben alle die algebraische Vielfachheit 1,

da alle Linearfaktoren 1. Grades sind.

Für die geometrische Vielfachheit bestimme die

Dimension von   det ( M - Eigenwert*Einheitsmatrix)=0

also z.B. für Eigenwert 1  den Lösungsraum des homogenen

Gleichungssystems zu

0    0   0
-1 -3   1
0  -2   0 . Also dim=1  und eine Basis des Lösungsraumes

bildet z.B. der Vektor

1
0
1

und entsprechend für EW -1

2    0   0
-1 -1   1
0  -2   2 . Also wieder dim=1  und eine Basis des Lösungsraumes

bildet z.B. der Vektor

0
1
1

und für die 0 auch 1 mit mögl. Basisvektor
0
1
2

Also ist die gesuchte Matrix (in den Spalten

die Basisvektoren) S=

0     0     1
1     1     0
2     1      1

Also S^(-1) =

-1    -1     1
1     2      -1
1     0       0

Und wenn du nachrechnest ist

S^(-1) * M1 * S =

0      0      0
0      -1      0
0      0       1

die gesuchte Diagonalmatrix mit den

Eigenwerten in der Diagonalen.

Avatar von 289 k 🚀

Vielen dank für deine Hilfe.

MIr stellt sich grade nur die Frage wie du auf die Vektoren z.b.

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gekommen bist

0    0   0
-1 -3   1
0  -2   0

Du interpretierst das wieder als hom. lin. Gl.system

0x+0y+0z=0
-x -3y +z=0
     -2y     =0

und bekommst y=0 und aus der ersten x ist beliebig

etwa x=t und das in die zweite gibt

-t + 0 + z = 0, also auch z=t.

Insgesamt alle Vektoren der Form

t
0
t

konkret also  z.B. der Vektor

1
0
1

als Basisvektor.

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