Zeigen Sie, dass für alle Mengen A,B gilt: A c B genau, dann wenn P(A) c P(B)

Question

Aufgabe:

zeigen sie, dass für alle mengen A,B gilt:

A c B genau, dann wenn P(A) c P(B)

Problem/Ansatz:

Scheint mir sehr einfach zu sein, doch ich verstehe nicht wie ich es aufschreiben/anfangen soll. Könnte mir das hier jemand kurz zeigen, damit ich die die nächsten Aufgaben bewerkstelligen kann?

P(M) := {A : A ⊂ M} mit der Formel würde ich arbeiten

Answer 1

Sei A c B . Und sei M ∈ P(A) .

==>  M c A und wegen A c B  also auch M  c  B

(Transitivität der Teilmengenrelation).

Also  M  ∈ P(B) .

Da für alle M ∈ P(A)  auch M ∈ P(B) gilt, hast du  P(A) c P(B).

Sei umgekehrt  P(A) c P(B). Wegen A  ∈ P(A)  folgt

also A  ∈ P(B )   d.h.     A c B .   q.e.d.