Beweisen Sie, dass für alle x,y ∈ ℝ mit x·y>0 nun x/y +y/x ≥ 2 gilt

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass für alle x,y ∈ ℝ mit x·y>0 gilt :

x/y +y/x ≥ 2

Problem/Ansatz:

wie löse ich am besten diese Aufgabe ??

Answer 1

Habe mich ausversehen bei der Aufgabenstellung verschrieben, sorry. sollte heißen x/y + y/x >=2

Dann ist \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}\geq 2 \Leftrightarrow x^2+y^2\geq 2xy\). Weißt du, wie man das beweist? Denk mal an die zweite binomische Formel ;)

Leider habe ich keine Ahnung, wie ich das Beweisen könnte :(

\(x^2+y^2\geq 2xy \Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\geq 0\). Nun die zweite binomische Formel: \((x-y)^2\geq 0\). Quadratzahlen sind nicht-negativ. Denke z. B. an die Normalparabel:

Comments

Habe mich ausversehen bei der Aufgabenstellung verschrieben, sorry. sollte heißen x/y + y/x >=2

Trotzdem danke für die aufmerksamkeit

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Habe die Frage aktualisiert.

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Nachtrag: Eventuell musst du beweisen, dass \(u^2:=u\cdot u >0\). Einfach über die Anordnungsaxiome!

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Leider habe ich keine Ahnung, wie ich das Beweisen könnte :(

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Dann guck jetzt nochmal. Oder meinst du, wie du \(u^2:=u\cdot u >0\) beweist?

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Und wie beweise ich dies nun weiter?

oder ist dies nun der Beweis?

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Ich sitze nicht in deiner Lehrveranstaltung. Ich vermute aber, dass \(u^2:=u\cdot u >0\) als bekannt vorausgesetzt werden kann. Dann ist der Beweis oben vollständig.