Bestimmen Sie rk(f) und eine Basis des Untervektorraums im(f) ⊆R5

Question

Hallöchen, ich habe ein paar fragen zum vorgehen.

Meine Aufgabe:

Betrachtet wird die

MatrixA :=\( \begin{pmatrix} 2 & 1 &1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 4 & 0 & 3 & -1 \\ 6 & -3 & 6 & 0 \end{pmatrix} \) ∈ M(5×4,R)

und die lineare Abbildung f := LA,B,C : R4 →R5 mit B und C die Standardbasen von R4 und R5.

Bestimmen Sie rk(f) und eine Basis des Untervektorraums im(f) ⊆R5.

Meine Fragen:

1. Wie bestimme ich die Abbildungsmatrix L,A,B,C? wie der Rang bestimmt wird weiß ich dann.

2. Wie bestimme ich eine Basis eines Untervektorraums?

Vielen dank im Voraus!!

Lg Jay

Answer 1

L(A)_B,C   ist die Abbildung zu der Matrix die da steht.

Musst also nur noch den Rang bestimmen. Das gibt  rang=3.

Also bilden je drei lin. unabhängige Spalten der

Matrix eine Basis für Im(f).  Also etwa

erste, zweite und vierte.

Comments

Dann verwirrt mich die Aufgabenstellung jetzt ein wenig.

(i) Bestimmen Sie rk(A) und eine Basis des Untervektorraums R(A) ⊆R4.

(ii) Bestimmen Sie rk(f) und eine Basis des Untervektorraums im(f) ⊆R5.

Ich dachte bei (I) sollte man den Rang der Matrix A bestimmen, da hatte ich auch drei raus, ist das denn das selbe für das Bild von A also bezogen auf die Standardbasen?

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Also die Bezeichnung R(A) ist  mir unbekannt. Mag sein,

dass das Gleiche ist wie Im(f).

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Ist nicht rk(A) der Rang der oben gegebenen Matrix A, und dann R(A) der Unterraum wozu die Basis bestimmt werden soll, und rk(f) für das Bild also der Abbildungsmatrix f := M,A,B,C und dazu Im(f) ?

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R(A) der Unterraum wozu die Basis bestimmt werden soll

Wenn das der von den Spalten von A erzeugte

Unterraum ist, dann ist es in der Tat gleich Im(f).

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Hier nochmal die gesamte Aufgabe, ich dachte bei der ersten ist es so wie du geschrieben hattest, da es hier nur um die Matrix A geht. Also Rang 3 und die Vektoren eins zwei und vier bilden eine Basis. Deswegen habe ich nur die zweite Aufgabe hier rein gestellt, weil ich nicht weiß wie sich die Matrix MA,B,C schreiben lässt um den Rang usw zu bestimmen. Wie ist es nun richtig?

Betrachtet wird die Matrix

A := \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 4 & 0 & 3 & -1 \\ 6 & -3 & 6 & 0 \end{pmatrix} \)

∈ M(5×4,R) und die lineare Abbildung f := LA,B,C : R4 →R5 mit B und C die Standardbasen von R4 und R5.

(i) Bestimmen Sie rk(A) und eine Basis des Untervektorraums R(A) ⊆R4.

(ii) Bestimmen Sie rk(f) und eine Basis des Untervektorraums im(f) ⊆R5.

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(i) und (ii) sind die gleiche Aufgabe mit anderen Worten formuliert.