Beweisen Sie: Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, g ∈ EndK(V) und n ≥ 0 beliebig. Dann gilt:

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie:  Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, g ∈ End_K(V) und n ≥ 0 beliebig. Dann gilt:

i)    Ker(gⁿ) ist g-invariant

ii)   Im(gⁿ) ist g-invariant

iii)  (g|_Ker(g^n))ⁿ = 0

Answer 1

i) Sei \(v\in Kern(g^n)\). Dann gilt \(g^n(v)=0\), also

\(g^n(g(v))=g^{n+1}(v)=g(g^n(v))=g(0)=0\), somit

\(g(v)\in Kern(g^n)\).

ii) Sei \(v\in Img(g^n)\). Dann gibt es ein \(w\in V\) mit

\(v=g^n(w)\). Daraus folgt

\(g(v)=g(g^n(w))=g^{n+1}(w)=g^n(g(w))\), also

\(g(v)\in Img(g^n)\).

iii) ist trivial.