Minimalpolynom = kgV des Minimalpolynoms der Vektore v1,...,vn

Question

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper K und φ:V→V eine lineare Abbildung. Sei μ_φ∈K[X] das Minimalpolynom von φ. Sei B={v₁,...,v_n} eine Basis von V. Für 1≤i≤n sei μ_vi∈K[X] das Minimalpolynom von vi bzgl. φ.

Zeigen Sie, dass μ_φ= kgV(μ_v1,...,μ_vn) gilt.

Ich habe leider nur einen kleinen Ansatz dazu.

Sei V= U_v1 ⊕  ... ⊕ U_vn 

Setze fi= μvi

μ_f|_U1=μ_f,_v1,...,μ_f|Um=μ_f,_vn
kgV(p,q) ist normierter Erzeuger von (p)∩(q),p,q∈K[x].:
(μ_f)=(μ_f,v1)∩...∩(μ_f,vn) folgt aus (μ_A)=(μ_A,v1)∩...∩(μ_A,vm)  und μ_f(x)=μ_A(x), wegen A=BMB(f), weil U und V gleiche Basis haben.
Damit ergibt sich μ_f=kgV(μ_f,v1(x),...,μ_f,vn(x))=kgV(μ_f|U1(x),...,μ_f|Un(x)).

Kann mir jemand sagen ob der Ansatz so stimmt und wie ich hier weitermachen muss?