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Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper K und φ:V→V eine lineare Abbildung. Sei μφ∈K[X] das Minimalpolynom von φ. Sei B={v1,...,vn} eine Basis von V. Für 1≤i≤n sei μvi∈K[X] das Minimalpolynom von vi bzgl. φ.

Zeigen Sie, dass μφ= kgV(μv1,...,μvn) gilt.


Ich habe leider nur einen kleinen Ansatz dazu.

Sei V= Uv1 ⊕  ... ⊕ Uvn 

Setze fi= μvi

μf|U1f,v1,...,μf|Um=μf,vn
kgV(p,q) ist normierter Erzeuger von (p)∩(q),p,q∈K[x].:
f)=(μf,v1)∩...∩(μf,vn) folgt aus (μA)=(μA,v1)∩...∩(μA,vm)  und μf(x)=μA(x), wegen A=BMB(f), weil U und V gleiche Basis haben.
Damit ergibt sich μf=kgV(μf,v1(x),...,μf,vn(x))=kgV(μf|U1(x),...,μf|Un(x)).


Kann mir jemand sagen ob der Ansatz so stimmt und wie ich hier weitermachen muss?

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