Schnittpunkte der Gerade mit einer algebraischen Fläche

Question

Aufgabe:

Eine Gerade g verläuft durch die Punkte [2, 0, 2] und [3, 3, 0]. Berechnen Sie die Schnittpunkte dieser Geraden mit der algebraischen Fläche x² + 2y = 4

Problem/Ansatz:

Geradengleichung

$$ g:t = \left(\begin{array}{l}{2} \\ {0} \\ {2}\end{array}\right)  + t \left(\begin{array}{l}{3} \\ {3} \\ {0}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}{2+3t} \\ {3t} \\ {2}\end{array}\right)$$

Einsetzen in Flächengleichung:

$$ (2+3t)^{2} + 2*3t = 4 $$

_{Binomische Formel:}

$$ (2+3t)^{2} = 2^{2} + 2*2*3t + 3t^{2} = 4 + 12t + 3t^{2} $$

$$ 4 + 12t + 3t^{2} + 6t = 4 $$

$$ 4 + 18t + 3t^{2} = 4 | : 3 $$

$$ t^{2} + 6t + \frac{4}{3} = 4/3 | -4/3$$

$$ t^{2} + 6t = 0 $$

_PQ-Formel:

$$ t_{1,2} = \frac{-6}{2} \pm \sqrt{\left(\begin{array}{l}{6} \\ {2}\end{array}\right)^{2} }$$

$$ t_{1,2} = \frac{-6}{2} \pm \frac{6}{2}$$

$$ t_1 = 0 $$

$$ t_2 = -6 $$

$$ SP_1 = \left[\begin{array}{l}{2+3t_1} \\ {3t_1} \\ {2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}{2+3*0} \\ {3*0} \\ {2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}{2} \\ {0} \\ {2}\end{array}\right]  $$

$$ SP_1 = \left[\begin{array}{l}{2+3t_2} \\ {3t_2} \\ {2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}{2+3*(-6)} \\ {3*(-6)} \\ {2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{l}{-16} \\ {-18} \\ {2}\end{array}\right] $$

Sind die Schnittpunkte hier richtig berechnet?

Answer 1

Deine Geradengleichung ist bereits verkehrt. Und das ist auch nicht der einzige Fehler der dir unterlaufen ist. Die Auflösung der binomischen Formel enthält z.B. auch noch einen Fehler.

Der Richtungsvektor wird als Differenz der Ortsvektoren gebildet.

g: X = [2, 0, 2] + r·([3, 3, 0] - [2, 0, 2]) = [r + 2, 3·r, 2 - 2·r]

In die Fläche einsetzen

(r + 2)^2 + 2·(3·r) = 4 --> r = -10 ∨ r = 0

S1 = [2, 0, 2] - 10·([3, 3, 0] - [2, 0, 2]) = [-8, -30, 22]

S2 = [2, 0, 2] + 0·([3, 3, 0] - [2, 0, 2]) = [2, 0, 2]