Hallo Ich bräuchte Hilfe bei folgendem
Aufgabe:
Vereinfachen Sie die partielle Differentialgleichung
\( \frac{δ^2u}{δx^2} \) -\( \frac{δ^2u}{δy^2} \) + 3 \( \frac{δu}{δx} \) - \( \frac{δu}{δy} \) +5 u = 0
indem Sie die Ansatzfunktion
u(x,y) = v(x,y) * eax+by einsetzen und die freien Parameter a,b ∈ ℝ so bestimmen, dass diejenigen Terme herausfallen, die erste Ableitungen von v(x,y) enthalten. Wie lautet die resultierende PDG für v(x,y) ?
Problem/Ansatz:
Die Ansatzfunktion habe 2mal partiell Abgeleitet mit hilfe der Produktregel:
\( \frac{δu}{δx} \) = \( \frac{δv}{δx} \) * e ax+by+ v(x,y) * a * e ax+by
\( \frac{δu}{δy} \) = \( \frac{δv}{δy} \) * e ax+by + v(x,y) * b * e ax+by
\( \frac{δ^2u}{δx^2} \) = \( \frac{δ^2v}{δx^2} \) * e ax+by + \( \frac{δv}{δx} \) *a * e ax+by + \( \frac{δv}{δx} \) * e ax+by + v(x,y)*a² * e ax+by
\( \frac{δ^2u}{δy^2} \) = \( \frac{δ^2v}{δy^2} \) * e ax+by + \( \frac{δv}{δy} \) *b * e ax+by + \( \frac{δv}{δy} \) * e ax+by + v(x,y)*b² * e ax+by
Dies ergibt dann in die Gleichung eingesetzt :
e ax+by (\( \frac{δ^2v}{δx^2} \)-\( \frac{δ^2v}{δy^2} \) + a* \( \frac{δv}{δx} \) + 4* \( \frac{δv}{δx} \) - b* \( \frac{δv}{δy} \) -2* \( \frac{δv}{δy} \) + a² v(x,y) - b² v(x,y) + 3a v(x,y) - b v(x,y) + 5 v(x,y)) = 0
Allerding weiß ich nicht wie es jetzt weiter gehen soll.
a und b so bestimmen dass die Terme mit \( \frac{δv}{δx} \) und \( \frac{δv}{δy} \) wegfallen ? Wie soll das denn gehen könnte jemand helfen ?
