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Hallo Ich bräuchte Hilfe bei folgendem


Aufgabe:

Vereinfachen Sie die partielle Differentialgleichung 

\( \frac{δ^2u}{δx^2} \) -\( \frac{δ^2u}{δy^2} \) + 3 \( \frac{δu}{δx} \) - \( \frac{δu}{δy} \) +5 u = 0

indem Sie die Ansatzfunktion

u(x,y) = v(x,y) * eax+by einsetzen und die freien Parameter a,b ∈ ℝ so bestimmen, dass diejenigen Terme herausfallen, die erste Ableitungen von v(x,y) enthalten. Wie lautet die resultierende PDG für v(x,y) ?


Problem/Ansatz:

Die Ansatzfunktion habe 2mal partiell Abgeleitet mit hilfe der Produktregel: 

\( \frac{δu}{δx} \)  =  \( \frac{δv}{δx} \)  * e ax+by+ v(x,y) * a * e ax+by

\( \frac{δu}{δy} \)  = \( \frac{δv}{δy} \)  * e ax+by + v(x,y) * b * e ax+by

\( \frac{δ^2u}{δx^2} \)  = \( \frac{δ^2v}{δx^2} \) * e ax+by + \( \frac{δv}{δx} \) *a * e ax+by + \( \frac{δv}{δx} \) * e ax+by + v(x,y)*a² * e ax+by

\( \frac{δ^2u}{δy^2} \) = \( \frac{δ^2v}{δy^2} \) * e ax+by + \( \frac{δv}{δy} \) *b * e ax+by + \( \frac{δv}{δy} \) * e ax+by + v(x,y)*b² * e ax+by


Dies ergibt dann in die Gleichung eingesetzt : 

e ax+by (\( \frac{δ^2v}{δx^2} \)-\( \frac{δ^2v}{δy^2} \) + a*  \( \frac{δv}{δx} \)  + 4*  \( \frac{δv}{δx} \)  - b*    \( \frac{δv}{δy} \) -2* \( \frac{δv}{δy} \)  + a² v(x,y) - b² v(x,y) + 3a v(x,y) - b v(x,y) + 5 v(x,y)) = 0

Allerding weiß ich nicht wie es jetzt weiter gehen soll.
a und b so bestimmen dass die Terme mit \( \frac{δv}{δx} \) und \( \frac{δv}{δy} \) wegfallen ? Wie soll das denn gehen könnte jemand helfen ?

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1 Antwort

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Beste Antwort
Allerding weiß ich nicht wie es jetzt weiter gehen soll.

Die riesige Klammer muss insgesamt 0 sein, da e^(etwas) nie 0 ist.

Da musst du etwas sortieren und kannst wahrscheinlich dann 2 Gleichungen = 0 entnehmen, so dass die ersten Ableitungen wegfallen (sich ausklammern lassen), aus denen sich a und b dann berechnen lassen.

Ich würde jetzt mal versuchen mit a+4 = 0 und -b - 2 = 0, d.h. a = -4 und b = -2.

Dann bleibt ja immer noch eine PDG für v(x,y) , weil der Rest der Klammer auch 0 geben muss. Die nun bestimmten a und b kannst du dort dann einsetzen und den Rest etwas vereinfachen.

Avatar von 162 k 🚀

oh mein gott was für ein facepalm moment...
Ich habe die ganze Zeit versucht die große Klammer irgendwie umzuschreiben oder auch nochmal nach a und b faktorisiert und kam die ganze zeit nicht weiter -.-.

VIELEN DANK DAFÜR !!!! Manchmal sieht man echt den Wald vor lauter Bäumen nicht.

Bitte. Gern geschehen. Ich musste die Fragestellung auch erst mal genau lesen.

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