Berechnung von Schwingung?

Question

gegeben:  x(t) = Asin(w t +j ) , A > 0 ,x(0) > 0
mit  folgenden Eigenschaften: Die dem Ursprung am nächsten gelegenen Nulldurchgänge liegen bei

t1=(-pi/4)  t2=(pi/3)


1) Gesucht ist die Periodenlänge P , die Kreisfrequenz w und den Phasenwinkel j ?

2) Wenn A =1. Welche Steigung hat der Funktionsgraph von x(t) im Punkt (-pi/4 ; 0)?

Answer 1

hallo

1)
zwei direkt benachbarte nulldurchgänge sind gegeben, daraus können wir sofort
die periodendauer T berechnen:
T = 2*(t2 - t1) = 2*(π/3 - (-π/4)) = 2*(π/3 + π/4) = 7π/6
berechnung der kreisfrequenz ω:
ω = 2π/T =  2π/(7π/12) = 12/7s^-1
berechnung des phasenwinkels φ
x0 = -φ/ω = -π/4
φ = ωπ/4 = 12/7 * π/4 = 3π/7

damit sind alle parameter für die beschreibung der funktion mit A=1 komplett:
x(t) = sin((12/7)t + 3π/7)

2)
für die berechnung der steigung brauchen wir die erste ableitung:
x'(t) = 12/7 cos(12/7t + 3π/7)
daraus erhalten wir die steigung im punkt (-π/4; 0) durch einsetzen:
x'(t = -π/4) = 12/7 cos(12/7(-π/4) + 3π/7)
x'(t = -π/4) = 12/7 cos(-12π/28 + 12π/28)
x'(t = -π/4) = 12/7 cos(0)
x'(t = -π/4) = 12/7
die tangente im punkt (-π/4; 0) hat demnach den steigungswinkel
α = arc tan(12/7)
α ≈ 59.74°

Comments

und auch schon den ersten patzer entdeckt:

in der grafik ist die periodendauer mit T = (7/12)s angegeben, das ist falsch.

muss heißen T=(7/6)s. ich konnte das bild leider nicht mehr austauschen.

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und in der zeile ω = 2π/T =  2π/(7π/12) = 12/7s^-1

ist auch nur die halbe periodendauer angegeben!

so heißt es richtig: ω = 2π/T =  2π/(7π/6) = 12/7s^-1

tsts