Doppelintegral P(X > Y ) angeben

Question

Aufgabe:

Die gemeinsame Dichtefunktion der Zufallsvariablen X und Y sei gegeben durch

Geben Sie P(X > Y ) an.

Problem/Ansatz:

Das Doppelt Integral würde so aussehen

Wie berechne ich das? Wie schaut das "richtige" Integral aus und warum?

Euer Max

Comments

"Richtig" könnte das zum Beispiel so aussehen: $$P\left(X>Y\right) = \int_{0}^{2}\int_{y}^{1} \:\dfrac 67\cdot\left(x^2+\dfrac{xy}{2}\right)\text{ d}x\text{ d}y$$

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Wie kommst du darauf das es von y - 1 ist?

Kannst du das genauer erklären?

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Da X>Y sein soll und du zuerst nach x integrieren wolltest, muss y<x<1 sein.

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Laut den Lösungen haben die folgendes genommen,

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Ich habe gerade meinen Vorschlag mal ausgerechnet und bin auf -1 gekommen, was natürlich nicht sein kann. Irgendwo habe ich also einen Denkfehler gemacht, den ich aber nicht sehe.

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Ok, Skizze gemacht und Fehler gefunden: y kann nicht größer als 1 sein, da andernfalls das Rechteck, über das integriert wird, verlassen wird. Daher gilt:

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Man kann die Integrationsreihenfolge auch vertauschen:

Answer 1

Aloha :)

Für die gemeinsame Dichte-Funktion

$$f(x,y)=\frac{6}{7}\left(x^2+\frac{xy}{2}\right)\quad;\quad 0<x<1\quad;\quad 0<y<2$$soll die Wahrscheinlichkeit $P(x>y)$ bestimmt werden. Der Definitonsbereich ist $x\in]0;1[$ und $y\in]0;2[$. Die Bedingung $x>y$ kannst du in 2 Varianten formulieren:

1) $y$ läuft von $0$ bis $x$ bzw. mathematisch: $\quad x\in]0;1[\quad\land\quad y\in]0;x[$

2) $x$ läuft von $y$ bis $1$ bzw. mathematisch: $\quad x\in]y;1[\quad\land\quad y\in]0;1[$

Bei Variante 2 muss man noch aufpassen, weil aus $y<x$ und $x<1$ auch $y<1$ folgt. Daher ist die erste Variante eigentlich naheliegender. Die beiden Integrale werden nacheinander berechnet, wobei zuerst über das Intervall mit der variablen Grenze und danach über das konstante Intervall integriert wird. Ich rechne mit Variante 1 weiter:

$$P(x>y)=\int\limits_0^1dx\int\limits_0^xdy\,\frac{6}{7}\left(x^2+\frac{xy}{2}\right)=\int\limits_0^1dx\left[\frac{6}{7}\left(x^2y+\frac{xy^2}{4}\right)\right]_{y=0}^{y=x}$$$$=\int\limits_0^1dx\frac{6}{7}\left[\left(x^2x+\frac{xx^2}{4}\right)-\left(x^2\cdot0+\frac{x\cdot0^2}{4}\right)\right]=\int\limits_0^1dx\frac{6}{7}\cdot\frac{5}{4}x^3=\int\limits_0^1\frac{15}{14}x^3\,dx$$$$=\left[\frac{15}{14}\cdot\frac{x^4}{4}\right]_0^1=\left[\frac{15}{56}x^4\right]_0^1=\frac{15}{56}$$

Du kannst ja mal zur Übung das Integral mit Variante 2 durchrechnen. Natürlich muss dasselbe Ergebnis herauskommen.

Comments

Deine erste Variante (bei mir die zweite) finde ich auch naheliegender, bei der anderen Variante habe ich – händisch – ebenfalls 15/56 heraus. Mein TI-Nspire (non CAS) kann das natürlich nur numerisch. :-)