Poisson Verteilung Werte einsetzen für k und λ

Question

Aufgabe:

Die Laufeistung eines Autos (in Kilometern) bevor die Batterie defekt ist, soll exponentialverteilt sein, der Erwartungswert beträgt 10000 km. Eine Person will eine Reise über 5000 km antreten. Wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Reise beenden kann, ohne die Batterie zu ersetzen?

Problem/Ansatz:

Folgende Formel verwende ich:

$$ P ( X = k ) = \frac { \lambda ^ { k } } { k ! } e ^ { - \lambda } , \quad k = 0,1,2, \cdots $$ 

Was setzte ich für k und λ ein?

Für λ hätte ich den Erwartungswert eingesetzt von 10000km und für k 5000/10000, also die Wahrscheinlichkeit?

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Euer Max

Answer 1

Aloha :)

In deinem konkreten Fall ist die Poisson-Verteilung nicht hilfreich, weil das Problem laut Aufgabenstellung exponential-verteilt ist. Die Dichtefunktion \(f(x)\) lautet also:$$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$$Der Erwartungswert der Exponentialverteilung ist \(=\frac{1}{\lambda}\) und dieser beträgt laut Aufgabenstellung \(10000\)km. Also ist \(\lambda=\frac{1}{10000}\). Weiter können wir \(x\ge0\) annehmen, da es keine negative Laufleistung gibt. Damit haben wir folgende Dichtefunktion für das Problem:$$f(x)=\frac{1}{10000}e^{-\frac{x}{10000}}\quad;\quad x\ge0$$Die Person möchte mindestens \(5000\)km reisen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Batterie das mitmacht ist:$$P(x\ge5000)=\int\limits_{5000}^\infty\frac{1}{10000}e^{-\frac{x}{10000}}\,dx=\left[\frac{1}{10000}\cdot(-10000)e^{-\frac{x}{10000}}\right]_{5000}^\infty$$$$=\left[-e^{-\frac{x}{10000}}\right]_{5000}^\infty=0-\left(-e^{\frac{5000}{10000}}\right)=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt e}\approx 0,6065\cdots$$

Answer 2

Die Laufeistung eines Autos (in Kilometern) bevor die Batterie defekt ist, soll exponentialverteilt sein

Und in der Überschrift steht Poisson-Verteilung.

Du solltest lernen sorgfältiger zu arbeiten.

Da du aufgrund meiner letzten Antwort ja weißt was Lambda ist und auch sicher das wissenswerte über die Exponentialverteilung bei Wikipdeia durchgelesen hast weißt du jetzt auch sicher wie du rechnen musst oder?

P(X ≥ 5000) = 0,606530659712633