Bestimmen Sie den Rang von A

Question

Gegeben sei die folgende Matrix

\( A=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & -1 \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3,3} \)

a) Bestimmen Sie \( A^{-1} \) mit dem Algorithmus aus der Vorlesung. Machen Sie die dabei von Ihnen angewandten elementaren Zeilenumformungen kenntlich.

b) Bestimmen Sie den Rang von \( A \).

c) Bestimmen Sie eine Basis von \( \operatorname{Kern}(A) \) und eine Basis von \( \operatorname{Bild}(A) \).

d) Bestimmen Sie den Koordinatenvektor von \( \vec{b}:=\left[\begin{array}{r}0 \\ 1 \\ 10\end{array}\right] \) bezüglich der Basis

\( \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{l} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right]\right\} \)

Hinweis: Verwenden Sie zur Lösung von \( \mathrm{b} \) ), c) und d) Thr Ergebnis aus a).

Comments

Woher sollen wir wissen, welchen Algorithmus ihr in der Vorlesung besprochen habt?

Answer 1

a)

[0, 1, 2, 1, 0, 0]
[2, 1, 3, 0, 1, 0]
[1, 4, -1, 0, 0, 1]

I und II tauschen

[2, 1, 3, 0, 1, 0]
[0, 1, 2, 1, 0, 0]
[1, 4, -1, 0, 0, 1]

II - 2*I

[1, 4, -1, 0, 0, 1]
[0, 1, 2, 1, 0, 0]
[0, -7, 5, 0, 1, -2]

III + 7*II

[1, 4, -1, 0, 0, 1]
[0, 1, 2, 1, 0, 0]
[0, 0, 19, 7, 1, -2]

19*I + III, 19*II - 2*III

[19, 76, 0, 7, 1, 17]
[0, 19, 0, 5, -2, 4]
[0, 0, 19, 7, 1, -2]

I - 4*II

[19, 0, 0, -13, 9, 1]
[0, 19, 0, 5, -2, 4]
[0, 0, 19, 7, 1, -2]

A^-1 = 1/19 * [-13, 9, 1; 5, -2, 4; 7, 1, -2]

b)

Der Rang ist die Anzahl unabhängiger Zeilen, hier also 3.

c)

Nur der Nullvektor wird auf den Nullvektor abgebildet

Kern(A) = [0; 0; 0]
Bild (A) = [-13, 5, 7], [9, -2, 1], [1, 4, -2]

d)

A * x = b
x = A^-1 * b = 1/19 * [-13, 9, 1; 5, -2, 4; 7, 1, -2] * [0; 1; 10] = [1; 2; -1]

Comments

Bist der Beste !! Danke vielmals.
Kann man nicht einfach die kanonische Basis {e₁,e₂,e₃} des ℝ³ als Basis von Bild(A) wählen?

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Ja. Das kann man auch. Ich wusste nicht was damit gemeint ist ich soll für die Lösung cvon c) die Lösung aus a) verwenden.

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Vielleicht ist gemeint, dass aus der Invertierbarkeit von A unmittelbar folgt, dass Rang(A)=3, Kern(A)={(0,0,0}) und Bild(A) =ℝ³ ist?